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神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×105 m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
【答案】分析：（1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．
解答：解：（1）设A、B圆轨道的半径分别为r1、r2，由题意知，A、B的角速度相等，为ω，
有：
，
，又FA=FB．
设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2．
由以上各式得，
①
由万有引力定律得，
．
将①代入得，
令
，比较可得
．②
（2）由牛顿第二定律有：
，③
又可见星的轨道半径
④
由②③④得，
．
（3）将m1=6ms代入
得，
⑤
代入数据得，
．⑥
设m2=nms，（n＞0）将其代入⑥式得，
．⑦
可见，
的值随n的增大而增大，令n=2时，得
⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2m1，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）
．
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为
．
（3）暗星B有可能是黑洞．
点评：本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．
解答：解：（1）设A、B圆轨道的半径分别为r1、r2，由题意知，A、B的角速度相等，为ω，
有：
，，又FA=FB．设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2．
由以上各式得，
①由万有引力定律得，
．将①代入得，
令
，比较可得．②（2）由牛顿第二定律有：
，③又可见星的轨道半径
④由②③④得，
．（3）将m1=6ms代入
得， ⑤代入数据得，
．⑥设m2=nms，（n＞0）将其代入⑥式得，
．⑦可见，
的值随n的增大而增大，令n=2时，得⑧要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2m1，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）
．（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为
．（3）暗星B有可能是黑洞．
点评：本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．
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（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为
的星体（可视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求
，运行周期
，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ 图18
，
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