Question

（2005?闵行区二模）理论研究指出，简谐振动的振动位移X与时间t的关系图象（x-t）可以是一条余弦曲线，其函数表达式为：x=Acosωt，其中A是振幅，ω=2π/T．对于周期性变化的电压和电流的图象也可以是一条余弦曲线，其函数表达式类似．下图中从阴极K发射的电子经电势差U₀=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L₁=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L₂=75cm处放置一个直径D=20cm、带有记录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计（见图）．若在两金属板上交变电压以U₂=1000cos2πt（V）的规律变化，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2转/s匀速转动，电子质量为9.1×10^-31kg，电子电量为1.6×10^-19c求：
（1）电子加速后的入射速度？
（2）在纸筒上的落点对入射方向的总偏距？
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出电子加速后的入射速度．
（2）电子在AB板间做类平抛运动，在BD间做匀速直线运动，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学结合求得电子飞离金属板时的竖直偏转距离y₁和竖直方向的分速度v_y，由匀速运动的规律求得电子从飞离金属板到达圆筒时的偏距y₂，在纸筒上的落点对入射方向的总偏距为y=y₁+y₂．
（3）根据上题的结论得到在记录纸上的点以振幅和周期，由于记录纸上的点做简谐运动，因为圆筒每秒转2周，故可画出在1 s内纸上的图形．

解答：解：（1）电子在加速电场中，由动能定理得：
   eU₀=

1

2

m

v

2 0

得电子加速后的入射速度 v₀=

2eU0 m

=4.2×10⁷m/s
（2）加上交变电压时，A、B两板间运动时：
 电子飞离金属板时的竖直偏转距离  y1=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

?

eE2

m

(

L1

v0

)2
 电子飞离金属板时的竖直速度  v_y=at₁=

eE2

m

?

L

v0

电子从飞离金属板到达圆筒时的偏距
   y₂=v_yt₂=

eE2

m

?

L

v0

?

L2

v0

=

eE2L1L2

m v 2 0

所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏距为
  y=y₁+y₂=（

L1

2

+L2）

eE2L1

m v 2 0

+L₂=（

L1

2

+L2）

L1U2

2dU0

代入解得，y=0.20cos2πt（cm）
（3）在记录纸上的点以振幅0.20m，周期T=

2π

ω

=1s而做简谐运动，因为圆筒每秒转2周，故在1 s内纸上的图形如图所示．
答：
（1）电子加速后的入射速度是4.2×10⁷m/s．
（2）在纸筒上的落点对入射方向的总偏距是0.20cos2πt（cm）
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形如图所示．

点评：本题粒子电子在组合电场中运动，分析电子的运动情况，运用动能定理和运动的分解进行研究是关键．