Question

2．特种兵过山谷的一种方法可化简为如图所示的模型：将一根长为2d、不可伸长的细绳的两端固定在相距为d的A、B两等高处，悬绳上有小滑轮P，战士们相互配合，可沿着细绳滑到对面．开始时，战士甲拉住滑轮，质量为m的战士乙吊在滑轮上，处于静止状态，AP竖直（不计滑轮与绳的质量，不计滑轮的大小及摩擦），则此时甲对滑轮的水平拉力为多少；若甲将滑轮由静止释放，则乙在滑动中速度的最大值为多少；下列结果正确的是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{2}{3}）gd}$
• B． $\frac{1}{2}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{2}{3}）gd}$
• C． $\frac{1}{2}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）gd}$
• D． $\frac{1}{3}$mg，$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{1}{3}）gd}$

Answer 1

分析 （1）战士甲拉住滑轮，质量为m的战士乙吊在滑轮上，处于静止状态，对滑轮受力分析应用平衡条件可求出甲的拉力．
（2）甲将滑轮由静止释放后，战士乙只有重力对其做功，所以下落到最低点是速度最大，求出最大的下落高度，应用动能定理可求出战士乙的最大速度

解答 解：对滑轮受力分析并正交分解如图：

同一根绳上的拉力相等，故AP，BP绳上的拉力均为F
设AP的长度为：x，则BP长度为：2d-x
在直角三角形ABP中：${\overline{BP}}^{2}={\overline{AB}}^{2}+{\overline{AP}}^{2}$
即：（2d-x）²=d²+x²
解得：x=$\frac{3}{4}d$，即：AP长度为：$\frac{3}{4}d$，BP长度为：$\frac{5}{4}d$
即：∠APB=53°
所以：F₁=Fcos53°=0.6F
F₂=Fsin53°=0.8F
由滑轮平衡得：
y方向：mg=F+F₁=F+0.6F
解得：F=$\frac{mg}{1.6}$
x方向：F₂=F_拉，即：F_拉=0.8×$\frac{mg}{1.6}=\frac{mg}{2}$
甲将滑轮由静止释放后，战士乙只有重力对其做功，所以下落到最低点是速度最大，下落到最低点时，绳子如图

此时三条边均为d，三角形为正三角形，即：每个角为60°
所以此时P距离A点的竖直高度OP为：dsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$
从静止到此状态战士乙共下落的高度h为：h=$\frac{\sqrt{3}}{2}d-\frac{3}{4}d$
设此时的速度为v，在下落过程中只有重力做功，做的功为：mgh
由动能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据得：v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）gd}$
故选：C

点评 此题主要考察平衡条件的应用，难点在于根据绳子的长度算出直角三角形的角度，需要细细品味．在下落的过程中最低点速度是最大的，难点在求出下落到最低点时下落的高度是多少，需要数形结合，总体来说是个难题，每一步都需要仔细推敲．