Question

用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb?a?．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa?边和bb?边都处在磁极间，极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（设磁场区域在竖直方向足够长）；
（2）若已知方框下落的时间为t时，下落的高度为h，其速度为v_t（v_t＜v_m）．则在同一时间t内，通过方框电流有效值为多少？

Answer 1

分析：（1）分析方框运动的过程：方框从静止释放后，切割磁感线产生感应电流，受到向上的安培力，先做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动，速度达到最大．根据力的平衡知识和安培力公式求解最大速度v_m．
（2）根据能量守恒定律求热量，再用焦耳定律求解电流有效值．

解答：解：（1）线框被释放后先做速度增大、加速度逐渐减小的直线运动，当加速度等于零时线框的速度达到最大，此后线框匀速下落
根据平衡条件：mg-F_A=0…①
又质量m=4AdL…②
线框受到的安培力合力F_A=2BlL…③
电流I=

E总

R

…④
线框中总电动势E总=2BLv₀…⑤
线框电阻R=

4ρL

A

…⑥
联立得最大速度v_m=

4ρgd

B2

．
（2）依据能量守恒定律得mgh=

1

2

m

v

2 t

+Q…⑦
由焦耳定律得 Q=

I

2 0

Rt…⑧
由②⑥及⑦⑧解得I₀=A

d ρt (gh- 1 2 v 2 t )

 
答：
（1）方框下落的最大速度v_m

4ρgd

B2

．
（2）在同一时间t内，通过方框电流有效值为A

d ρt (gh- 1 2 v 2 t )

．

点评：解答这类问题的关键是通过受力分析，正确分析安培力的变化情况，找出最大速度的运动特征．电磁感应与电路结合的题目，感应电动势是中间桥梁．