Question

如图所示，可看作质点的物体A、B相距为x₀，质量均为ikg，与倾角为37°的固定斜面间的动摩擦因数分别是

7

16

和

3

4

，现将物体A、B从斜面上由静止释放，A将从斜面顶端沿斜面匀加速下滑，并与B发生连续弹性正碰（每次碰撞过程时间极短），已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，斜面长L=36.2m．
（1）若x₀=0，求物体A、B一起下滑的加速度；
（2）若x₀=0.2m，求A由静止开始到第二次相碰前克服摩擦阻力所做的功；
（3）若x₀=0.2m，求A到达斜面底端之前已经与B发生了几次碰撞．

Answer 1

分析：1、假设A、B没有发生相互作用时求出合外力，再根据牛顿第二定律求解A、B共同加速度
2、根据牛顿第二定律和运动学公式求出A与B第一次碰撞前A的速度，再根据动量守恒和机械能守恒列出等式求解
3、A与B第二次碰撞后，速度交换，根据位移关系列出等式求解．

解答：解：（1）若x₀=0，假设A、B没有发生相互作用时，合外力分别是：
F₁=m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ=1×10×（0.6-

7

16

×0.8）N=2.5N
F₂=m₂gsinθ-μ₂m₂gcosθ=1×10×（0.6-

3

4

×0.8）N=0
所以应该是A推B匀加速下滑，根据牛顿第二定律得：
F₁=（m₁+m₂）a
解得A、B共同加速度为：
a=

F1

m1+m2

=

2.5

1+1

=1.25m/s²，
（2）若x₀=0.2m，B静止，A的加速度为：
a₁=

F1

m1

=2.5m/s²，
A与B第一次碰撞前A的速度为：
v_A1=

2a1x0

=

2×2.5×0.2

=1m/s
第一次碰撞，根据动量守恒和机械能守恒得：
m_Av_A1=m_Av′_A1+m_Bv′_B1

1 2 mAv

2 A1

=

1 2 mAv′

2 A1

+

1 2 mBv′

2 B1

解得：v′_A1=v_B1=0
v′_B1=v_A1=1m/s
即A、B速度交换，从第1次碰后到第2次碰撞前，根据位移关系x_B1=x_A1可得：
v′_B1t₂=

1

2

a₁

t

2 2

所以第2次碰撞前A的速度为：
v_A2=a₁t₂=2v′_B1=2m/s
t₂=

vA2

a1

=

2

2.5

=0.8s
x_A1=x_B1=v′_B1t₂=1×0.8=0.8m
W=μm₁gcos37°（x_A1+x₀）=

7

16

×1×10×0.8×（0.8+0.2）=3.5J
（3）A与B第二次碰撞后，速度交换v′_A2=1m/s，v′_B2=2m/s
从第2次碰后开始到第3次碰撞时，根据位移关系得：
v′_B2t₃=v′_A2t₃+

1

2

a₁

t

2 3

解得：t₃=t₂=0.8s，x_B2=1.6m
依题意计算可知，A第一次与B碰撞前的速度为1m/s，A第二次与B碰撞前的速度为2m/s，A第三次与B碰撞前的速度为3m/s，
由于碰后速度交换，因而碰后B物体的速度为：
第一次碰后：v′_B1=1m/s
第二次碰后：v′_B2=2m/s
第三次碰后：v′_B3=3m/s
…
第n次碰后：v′_Bn=n  m/s
每段时间内，B物体都做匀速直线运动，第n次碰前运动的距离为
S_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

  m
带入L-x₀=

2n(n-1)

5

  m
即36.2-0.2=

2n(n-1)

5

  
解得：n=10次，即A到达斜面底端之前已经与B发生了9次碰撞．
答：（1）若x₀=0，物体A、B一起下滑的加速度大小是1.25m/s²，
（2）若x₀=0.2m，A由静止开始到第二次相碰前克服摩擦阻力所做的功是3.5J；
（3）若x₀=0.2m，A到达斜面底端之前已经与B发生了9次碰撞．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律、运动学公式，综合性较强，对学生能力要求较高，是一道难题．