Question

如图所示，质量为m．电荷量为e的电子从坐标原点0处沿xOy平面射人第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v₀．已知包括原点O在内的圆形区域内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，这些电子穿出磁场后都能垂直打在与y轴平行的荧光屏MN上，屏MN与y轴间的距离等于电子在磁场中做圆周运动的半径的2倍（不计电子的重力以及电子间相互作用）．
（1）在O点沿y轴正方向进入磁场的电子经多长时间打在屏上？
（2）若电子穿出磁场时的位置坐标为（x，y），试写出x与y应满足的方程式，并分析指出圆形磁场区的圆心位置坐标和半径；
（3）求这些电子在磁场中运动范围的面积．

Answer 1

（1）设电子做圆周运动的半径为R，
由牛顿第二定律可得，ev0B=

m v 20

R

解得：R=

mv0

eB

 电子做圆周运动的周期：T=

2πm

eB

沿y轴正方向进入磁场的电子运动轨迹，如图甲所示．
电子在磁场中运动的时间：t1=

T

4

=

πm

2eB

电子穿出磁场后的运动时间：t2=

2R-R

v0

=

m

eB

所以该电子运动的时间：t=t1+t2=

(π+2)m

2eB

（2）入射方向与x轴正方向夹角为θ的电子轨迹，如图乙所示，
电子穿出磁场时的位置坐标为（x，y），
由图乙可得：x²+（R-y）²=R²，
即x2+(y-

mv0

eB

)2=(

mv0

eB

)2
电子穿出磁场的位置在磁场圆的圆周上，故磁场圆周圆心坐标为（0，

mv0

eB

）
磁场圆半径等于轨迹圆半径为r=R=

mv0

eB

磁场圆如图乙所示中虚线圆所示．
（3）这些电子在磁场中的运动范围由图丙所示的两段圆弧围成，
面积等于图中阴影面积的2倍，即：S=2?(

πR2

4

-

R2

2

)=

π-2

2

(

mv0

eB

)2
答：
（1）在O点沿y轴正方向进入磁场的电子经

(π+2)m

2eB

时间打在屏上；
（2）若电子穿出磁场时的位置坐标为（x，y），则x与y应满足的方程式，并分析指出圆形磁场区的圆心位置坐标（0，

mv0

eB

）和半径

mv0

eB

；
（3）则这些电子在磁场中运动范围的面积

π-2

2

(

mv0

eB

)2．