Question

有一可绕水平轴转动半径为r的轻质鼓形轮．在轮上绕有细绳，绳的下端挂有质量为M的物体，在鼓形轮的轴上固定着四根相互垂直的长度均为L的轻杆，且L=2r．在轻杆的末端各固定一个质量m的小球，且M=4m，如图所示．释放M后，M从离地H高处无初速下落，着地后M的速度立即变为零，而鼓形轮继续转动，细绳又绕在轮上．（不考虑M晃动，不计细绳与鼓轮之间的摩擦生热）求：
（1）M第一次即将着地时的速度；
（2）M第一次着地后又被拉起能上升的最大高度；
（3）M运动的总路程．

Answer 1

分析：（1）由于四个小球均匀分布，整体的重心在鼓形轮中心，重力势能不变，根据系统的机械能守恒及M与m的速度关系，列式求解；
（2）根据系统的机械能守恒求解．
（3）运用同样的方法求出求出M着地二次、三次…上升的最大高度，运用数学知识即可求出总路程．

解答：解：（1）设M第一次即将着地时的速度大小为v，因L=2r，角速度相等，根据v=ωr知，m的速度为2v．
根据系统的机械能守恒得：
  MgH=

1

2

Mv2+4×

1

2

m(2v)2
又M=4m
联立解得，v=

2gH 5

．
（2）着地后M的速度立即变为零，被拉起能上升的过程，由机械能守恒得：
  4×

1

2

m(2v)2=Mgh
解得，h=0.8H
（3）同理可知M第二次即将着地时的速度大小为

2g?0.8H 5

，M第三次即将着地时的速度大小为

2g?0．82H g

…
M第二次、第三次…着地后被拉起能上升的最大高度分别为0.8²H，0.8³H…
所以M运动的总路程S=H+2×0.8H+2×0.8³H+…=H+

2×0.8H

1-0.8

=9H．
答：
（1）M第一次即将着地时的速度为

2gH 5

．
（2）M第一次着地后又被拉起能上升的最大高度为0.8H．
（3）M运动的总路程为9H．

点评：本题是系统机械能守恒问题，关键要抓住四个小球的重力势能不变，运用机械能守恒和速度关系求解．