Question

20．天文工作者测得某行星的半径为R₁． 它有一颗卫星，轨道半径为R₂，运行周期为T．已知万有引力常量为G．
（1）求该行星的平均密度；
（2）要在该星球上发射一颗靠近表面运行的人造卫星，此卫星的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）由万有引力充当向心力，则向心力公式可得出行星的质量；根据密度的定义式求解；
（2）行星表面的物体，万有引力充当向心力，由万有引力公式可得出行星表面的速度

解答 解：（1）根据万有引力充当向心力：$\frac{GMm}{{R}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$                   
密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$
（2）根据万有引力充当向心力：$\frac{GMm}{{R}_{1}^{2}}=m\frac{{V}^{2}}{{R}_{1}}$得：V=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=$\frac{2π{R}_{2}}{T}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
答：（1）该行星的平均密度$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（2）要在该星球上发射一颗靠近表面运行的人造卫星，此卫星的速度为$\frac{2π{R}_{2}}{T}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$

点评 本题为万有引力定律的直接应用，注意万有引力只能求出中心天体的质量；当题目中物理是较多时，在解题时要注意区分已知量和未知量