Question

如图所示，竖直放置的金属薄板M、N间距为d．绝缘水平直杆左端从N板中央的小孔穿过，与M板固接，右端处在磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m、带电量为+q的中空小球P，套在水平直杆上，紧靠M板放置，与杆的动摩擦因数为μ．当在M、N板间加上适当的电压U后，P球将沿水平直杆从N板小孔射出，试问：
（1）此时M、N哪个板的电势高？它们间的电势差必须大于多少？
（2）若M、N间电压U=5μmgd/q时，小球能沿水平直杆从N板中央小孔射入磁场，则射入的速率多大？若磁场足够大，水平直杆足够长，则小球在磁场中运动的整个过程中，摩擦力对小球做多少功？

Answer 1

分析：（1）力是改变物体运动状态的原因，使静止的物体运动，要产生加速度，即物体的合外力不等于零；
（2）电场的基本性质是对放入其中的带电体有力的作用；
（3）小球P射入磁场后受到竖直向上的洛伦兹力作用，并且洛伦兹力对小球不做功；
（4）进入磁场后，速度在摩擦力作用下会减小，引起洛伦兹力减小，引起正压力变化，从而会引起摩擦力发生改变，要注意分情况具体分析；
（5）关于变力做功，可用动能定理去求，简洁方便．

解答：解：（1）因P球带正电，只有M板电势高于N板电势，P球才会受到向右的电场力作用．才有可能向右运动．
        故，若要小球P沿水平直杆从板间射出，必须使M板电势高于N板电势．  
　　    而要使小球P能沿水平直杆从板间射出，必须使电场力大于小球所受的摩擦力，即
             qE＞μmg  而E=

U

d

             故U＞

μmgd

q

    （2）设P球射出电场时的速率为v，由动能定理得：
            qU-μmgd=

1

2

mv2-0
      
       即   q

5μmgd

q

-μmgd=

1

2

mv2
       解得：v=2

2μgd

     小球P射入磁场后受到竖直向上的洛伦兹力作用，可能出现三种情况．
Ⅰ．qvB=mg，则小球不受摩擦力，做匀速直线运动．故摩擦力做功为零．
Ⅱ．qvB＞mg，则直杆对小球有向下的压力，小球受摩擦力减速，当减速到洛仑兹力与重力大小相等后做匀速运动．设小球匀速时的速度v_t，则qv_tB=mg
       设此过程中摩擦力做的功为W，由动能定理得：W=

1

2

mvt2-

1

2

mv2         
        即W=

1

2

m(

mg

qB

)2-

1

2

m(2

2μgd

)2解得：W=

m3g2

2q2B2

-4mμgd
Ⅲ．qvB＜mg，则直杆对小球有向上的支持力，小球受摩擦力减速，最终速度减为零． 则摩擦力所做的功为
            W=0-

1

2

mv2
         解得：W=-4μmgd
答：M板电势高于N板电势，它们间的电势必须大于

μmgd

q

；（2）射入的速率为2

2μgd

，当qvB=mg时，摩擦力做功为零，
当qvB＞mg时，摩擦力做功为

m3g2

2q2B2

- 4mμgd，当qvB＜mg时，摩擦力做的功为-4μmgd．

点评：本题是电磁学的综合问题，涉及到得知识点较多，难度较大．特别是第二小问中有三种情况，很多同学只能分析其中的一种或两种，出现遗漏情况．
要注意本题中小球在磁场中运动时所受的摩擦力是一个变力，求变力做功一般用动能定理求解．