Question

摆线是数学中众多迷人曲线之一，它是这样定义的：一个圆沿一直线无滑动地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．在竖直平面内有xOy坐标系，空间存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、电荷量为+q的小球从坐标原点由静止释放，小球的轨迹就是摆线．小球在O点速度为0时，可以分解为大小始终相等的一水平向右和一水平向左的两个分速度，如果速度大小取适当的值，就可以把小球的运动分解成以v₀的速度向右做匀速直线运动和从O点以向左速度v₁为初速度做匀速圆周运动两个分运动．设重力加速度为g，下列式子正确的是（　　）

• A、速度大小所取的适当值应为

  mg

  qB

• B、经过t=

  πm

  qB

  第一次到达摆线最低点
• C、最低点的y轴坐标为y=-

  2m2g

  q2B2

• D、最低点的y轴坐标为y=-

  m2g

  q2B2

Answer 1

分析：初速度为零，将其分解为向右的v₀的速度和向左的等大的速度，其中向右的v₀的速度对应的洛伦兹力与重力平衡，做匀速直线运动；向左初速度与磁场垂直，做匀速圆周运动；实际运动是这两个分运动的合运动．

解答：解：A、实际运动可以分解为向右的匀速直线运动和初速度向左的匀速圆周运动；
对于匀速直线运动，洛伦兹力与重力平衡，根据平衡条件，有：mg=qv₀B，解得：v₀=

mg

qB

，故A正确；
B、匀速圆周分运动的周期为：T=

2πm

qB

，经过t=

1

2

T=

πm

qB

，粒子到达最低点，故B正确；
C、D、匀速圆周分运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
qv₀B=m

v 2 0

R

解得：R=

mv0

qB

；
故最低点坐标为：y=-2R=-

2m2g

q2B2

，故C正确，D错误；
故选ABC．

点评：本题关键是将带电粒子的运动分解为向右的匀速直线运动和初速度向左的匀速圆周运动，这是比较罕见的，较难．