Question

地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，若规定物体离无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的引力势能可表示为Ep=-

GMm

r

．
（1）试证明一质量m的卫星在离地面距离为h时所具有的机械能为E=-

GMm

2(R+h)

；
（2）国际空间站是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，设空间站离地面高度为h，如果在该空间站直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能达到地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，该卫星在离开空间站时必须具有多大的初动能．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力求出卫星的线速度，再求出动能和引力势能求解．
（2）同步卫星在轨道上正常运动，根据万有引力提供向心力求出轨道半径．
卫星运动过程中机械能守恒，离开航天飞机时卫星的初动能等于机械能减去引力势能．

解答：解：（1）证明：由万有引力提供向心力得

GMm

r2

=

mv2

r

r=R+h
得：物体在离地面h处的动能为E_k=

1

2

mv2=

GMm

2(R+h)

物体在离地面的引力势能为：E_p=-

GMm

R+h

物体在离地面h的机械能为：
E=E_k+E_p=-

GMm

2(R+h)

（2）同步卫星在轨道上正常运动行时有：

GMm

r 2 1

=mω²r₁
故其轨道半径r₁=

3	GM ω2

由上式可得同步卫星的机械能
E₁=-

GMm

2r1

=-

1

2

m

3	G2M2ω2

卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能为E₁
设离开航天飞机时卫星的初动能为E_k0
则：E_k0=E₁-E_p=-

1

2

m

3	G2M2ω2

+

GMm

R+h

答：（1）证明在上
（2）该卫星在离开空间站时必须具有的初动能是-

1

2

m

3	G2M2ω2

+

GMm

R+h

．

点评：该题关键是运用万有引力提供向心力列出等式求解．
清楚卫星在没有其他动力时，运动过程中是机械能守恒的．