Question

1．一半径为R的四分之三圆管竖直放置，圆心O与管口A的连线与地面齐平．一质量为m，半径略小于圆管内径的小球从离A管口H=2R高处正对管口由静止释放，后经B管口飞出，不计空气阻力，小球直径可忽略不计，以下说法正确的是（　　）

• A． 若圆管内壁光滑，小球落地点与O点距离为2R
• B． 若小球落地点与O点距离为1.5R，经过B管口时对管口压力为$\frac{9}{8}$mg
• C． 若小球从B口飞出以后刚好落至A口，则此过程中小球损失的机械能$\frac{3}{4}$mgR
• D． 若小球从B口飞出以后刚好落至A口，则小球与管壁间的弹力先变大后变小

Answer 1

分析 A、根据机械能守恒定律求出最高点的速度，再由平抛运动的规律即可求解小球的落点与O点间的距离；
B、由平抛运动的规律求出B点速度，再根据向心力公式即可求解经过B管口时对管口的压力；
C、根据平抛规律求出小球到达最高点的速度，减少的重力势能和增加的动能的差即为损失的机械能；
D、根据动能定理求出最低点速度，由向心力公式求出最低点的弹力和最高点的弹力，即可判断该选项．

解答 解：A、根据机械能守恒定律，有：$mgH=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，即：$mg•2R=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，解得：$v=\sqrt{2gR}$
离开B点做平抛运动有：$R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，得：$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平距离为：x=vt=$\sqrt{2gR}$$•\sqrt{\frac{2R}{g}}$=2R，故A正确；
B、根据平抛运动的规律得：$R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，解得：$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$，x=vt，得：$v=\frac{x}{t}=\frac{1.5R}{t}$=$\frac{3R}{2}\sqrt{\frac{g}{2R}}$，根据牛顿第二定律得：${F}_{N}^{\;}+mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得：${F}_{N}^{\;}$=$\frac{1}{8}$mg，故B错误；
C、小球从B刚好落至A口，根据平抛运动的规律，有：$R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，解得：$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$，R=vt，得：$v=\frac{R}{t}=R\sqrt{\frac{g}{2R}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，小球损失的机械能为：△E=$mg（2R-R）-\frac{1}{2}m（\sqrt{\frac{gR}{2}}）_{\;}^{2}$=$\frac{3}{4}mgR$，故C正确；
D、根据动能定理有：$mg（H+R）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，得小球到达最低点的速度为：$v=\sqrt{6gR}$，由向心力公式${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得：${F}_{N}^{\;}=7mg$；小球在最高点时，有：$mg-{F}_{N}^{′}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得：${F}_{N}^{′}=\frac{1}{2}mg$，可知小球与管壁间的弹力先变大后变小，故D正确；
故选：ACD

点评 本题关键明确小球的运动规律，结合牛顿第二定律、向心力公式、平抛运动的分运动公式和机械能守恒定律列式求解，不难．