Question

电动机带动滚轮匀速转动，在滚轮的作用下，将金属杆从最底端A送往倾角θ=30°的足够长斜面上部．滚轮中心B与斜面底部A的距离为L=6.5m，当金属杆的下端运动到B处时，滚轮提起，与杆脱离接触．杆由于自身重力作用最终会返回斜面底部，与挡板相撞后，立即静止不动．此时滚轮再次压紧杆，又将金属杆从最底端送往斜面上部，如此周而复始．已知滚轮边缘线速度恒为v=4m/s，滚轮对杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与杆间的动摩擦因数为μ=0.35，杆的质量为m=1×10³Kg，不计杆与斜面间的摩擦，取g=10m/s²．求：
（1）在滚轮的作用下，杆加速上升的加速度；
（2）杆与滚轮脱离时杆的速度；
（3）每个周期中电动机对金属杆所做的功．

Answer 1

分析：（1）杆加速上升时，受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，根据牛顿第二定律求出杆加速上升的加速度．
（2）根据匀变速直线运动的速度公式求出杆加速上升至与滚轮速度相同时所用时间t₀．由位移公式求出此过程金属杆通过的位移，从而可分析出杆子的运动情况：杆子在整个过程中先向上做匀加速直线运动，在做匀速直线运动，脱离滚轮后，向上做匀减速直线运动，返回做匀加速直线运动．
根据运动情况，可确定出杆与滚轮脱离时杆的速度；
（3）由加速度和杆运动的末速度与轮边缘相同可求出杆运动的时间t，轮分两个过程对杆做功，在两个过程中根据动能定理可求出轮对杆所做的功W；

解答：解：（1）杆加速上升过程中，受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，滑动摩擦力大小为  f=μN=7×10³N    
  a=

f-mgsinθ

m

=2m/s²     
（2）设杆经过时间t₀速度与滚轮速度相同，即有 v=at₀
得t₀=

v

a

=

4

2

s=2s  
此过程金属杆通过的位移 s=

1

2

at²=4m     
∵s＜L=6.5m
∴金属杆先匀加速4米，后匀速2.5米．
杆与滚轮脱离时杆的速度为滚轮边缘线速度 v=4m/s     
（3）对于匀加速运动过程，由动能定理得
  W₁-mgsinθs=

1

2

mv²
代人数据解得：W₁=2.8×10⁴J   
对于匀速运动过程，由动能定理得  W₂-mgsinθs′=0   
解得：W₂=1.25×10⁴J    
∴W=W₁+W₂=4.05×10⁴J             
答：
（1）在滚轮的作用下，杆加速上升的加速度为2m/s²．
（2）杆与滚轮脱离时杆的速度为4m/s．
（3）每个周期中电动机对金属杆所做的功为4.05×10⁴J．

点评：解决本题的关键理清杆子在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律、运动学公式和动能定理进行求解．