Question

如图甲所示，在倾角为θ的足够长的斜面上，有一个带风帆的滑板从静止开始沿斜面下滑，滑板的总质量为m，滑板与斜面间的动摩擦因数为μ，滑板上的风帆受到的空气阻力与滑板下滑的速度成正比，即f=kv.

（1）试求滑块下滑的最大速度v_m的表达式;

（2）若m=2 kg、θ=30°,g取10 m/s²，滑块从静止开始沿斜面下滑的速度—时间图象如图乙所示，图中斜线是t=0时刻的速度图象的切线.由此求μ和k的值.

                                                                 图甲

                                                                   图乙

Answer 1

（1） (sinθ-μcosθ) （2）0.23 3

解析:（1）风帆受力如下图所示

滑块下滑时沿斜面方向受三个力作用：重力沿斜面向下的分力mgsinθ、滑动摩擦力f₁=μmgcosθ 和风帆的阻力f₂=kv.

当mgsinθ=f₁+f₂时，风帆下滑的速度最大为v_m，则有：

mgsinθ=μmgcosθ+kv_m,v_m= (sinθ-μcosθ).

(2)由图象知t=0时风帆下滑的加速度

a= m/s²=3 m/s²

风帆下滑过程中最大速度v_m=2 m/s

当t=0时，由牛顿第二定律得：

mgsinθ-μmgcosθ=ma

a=g(sinθ-μcosθ)=10×(0.5-μ)=3

解得μ=0.23

由mgsinθ=mgμcosθ+kv_m得：

k=(sinθ-μcosθ)=×(0.5-0.23×) N/(m·s^-1)=3 N/(m·s^-1).