Question

（2011?宿迁三模）如图所示为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调的匀强磁场．M、N为两块中心开有小孔的距离很近的极板，板间距离为d，每当带电粒子经过M、N板时，都会被加速，加速电压均为U；每当粒子飞离电场后，M、N板间的电势差立即变为零．粒子在电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径R不变．当t=0时，质量为m、电荷量为+q的粒子静止在M板小孔处．
（1）求粒子绕行n圈回到M板时的速度大小v_n；
（2）为使粒子始终保持在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时磁感应强度B_n的大小；
（3）求粒子绕行n圈所需总时间t_总．

Answer 1

分析：带电粒子以一定的速度进入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动．当磁场一定时，粒子在磁场中运动的周期仅与粒子的比荷有关，而在磁场中运动的时间还与偏转角有关．当入射速度越大时，磁场及粒子的比荷不变时，运动轨道的半径越大；而当轨迹半径及粒子的比荷不变时，则磁场必须变化．

解答：解：（1）粒子绕行一圈电场做功一次，由动能定理：nqU=

1

2

m

v

2 n

即第n次回到M板时的速度为：vn=

2nqU m

（2）绕行第n圈的过程中，由牛顿第二定律：qBnvn=m

v 2 n

R

得Bn=

1

R

2nmU q

（3）粒子在每一圈的运动过程中，包括在MN板间加速过程和在磁场中圆周运动过程．
在MN板间经历n次加速过程中，因为电场力大小相同，故有：nd=

1

2

?

qU

md

?

t

2 加

即加速n次的总时间 t加=d

2nm qU

而粒子在做半径为R的匀速圆周运动，每一圈所用时间为

2πR-d

v

，由于每一圈速度不同，所以每一圈所需时间也不同．
第1圈：qU=

1

2

m

v

2 1

v1=

2qU m

t1=

2πR-d

v1

=(2πR-d)

m 2qU

第2圈：2qU=

1

2

m

v

2 2

v2=

2?2qU m

t2=

2πR-d

v2

=(2πR-d)

m 2×2qU

…
第n圈：nqU=

1

2

m

v

2 n

vn=

n?2qU m

tn=

2πR-d

vn

=(2πR-d)

m n×2qU

故绕行n圈过程中在磁场里运动的时间t=(2πR-d)

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
综上：粒子绕行n圈所需总时间
t_总=d

2nm qU

+(2πR-d)

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

点评：带电粒子在磁场中运动的题目解题步骤为：定圆心、画轨迹、求半径．同时体现控制变量的方法，在粒子的比荷、半径一定的情况下，粒子的速度与磁场成正比．