Question

如图所示，在OPNM区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠QOP=60°．离子源中带电量为+q，质量为m的离子（离子初速度可忽略不计）经电场AB加速后以一定速度从O点处垂直QN进入磁场，不计离子的重力．
（1）当加速电压U=U₀，求离子进入磁场中做圆周运动的半径r．
（2）已知P点到O点距离为L，若要离子恰好从P点离开磁场，加速电压U多大？
（3）若离子恰好从P点离开磁场，求该离子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析：（1）离子在电场中加速时，根据动能定理求解获得的速度．离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，离子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求解离子进入磁场后做圆周运动的半径R₀．
（2）OP是一条直线，离子进入磁场时速度与OP的夹角为30°，由几何知识分析求得粒子的轨迹半径R，根据动能定理求解加速电压．
（3）由几何关系求出轨迹所对的圆心角，得到时间与周期的关系，求出时间．

解答：解：（1）离子在电场中加速时，到达O点的速度为v₀，根据动能定理得 U0q=

1

2

m

v

2 0

-0①
离子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力，得  qv0B=m

v 2 0

r

②
由①②解得：r=

1

B

2U0m q

③
（2）离子恰好经过P点离开磁场，
由几何关系可得R=L    ④
离子在电场中加速时，到达O点的速度为v，
根据动能定理得  Uq=

1

2

m

v

2

-0⑤
离子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力qvB=m

v 2

R

⑥
由④⑤⑥解得：U=

B2L2q

2m

⑦
（3）由几何关系可知，

.

PO

对应的圆心角为60°
若离子在磁场中的运动周期为T，
该离子在磁场中的运动时间 t=

1

6

T=

1

6

×

2πR

v

⑧
由⑥⑧解得：t=

πm

3qB

 ⑨
或：若离子在磁场中的运动周期为T，有洛仑兹力提供向心力有  qvB=m(

2π

T

)2R⑧
由几何关系可知，

.

PO

对应的圆心角为60°
离子在磁场中的运动时间t=

1

6

T（1分） ⑨
解得：t=

πm

3qB

答：
（1）当加速电压U=U₀，求离子进入磁场中做圆周运动的半径r为

1

B

2U0m q

．
（2）已知P点到O点距离为L，若要离子恰好从P点离开磁场，加速电压U为

B2L2q

2m

．
（3）若离子恰好从P点离开磁场，该离子在磁场中的运动时间为

πm

3qB

．

点评：磁场中的圆周运动问题重点是要找出半径，然后通过合理的作图画出粒子的运动轨迹，基本就可以解决问题了，磁场中的轨迹问题是高考特别喜欢考查的内容，而且都是出大题，应该多做训练．