Question

如图所示，两虚线之间存在着足够长的垂直纸面方向的匀强磁场，有一不计重力的带电粒子自A点以垂直于虚线方向的初速度进入该场区，从另一侧B点射出时与边界成45°角，已知两虚线间距离为l=1m．现将虚线内的匀强磁场换为平行边界的匀强电场，场强大小为E₁，使粒子仍从A点以原速度射入，结果粒子离开右边界时与边界的夹角也为45°；若将匀强电场的大小换为E₂，方向保持不变，仍让粒子从A点以原速度进入时，结果粒子恰好能从B点离开右边界．试求E₁与E₂的比值．

Answer 1

分析：粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，结合运动半径公式与几何关系，可求出AB两点的竖直方向的位移，从而当粒子在电场力作用下，做类平抛运动，根据运动的合成与分解，结合运动学公式与牛顿第二定律，即可列出竖直方向的位移公式，即可求解．

解答：解：粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，如图所示，从另一侧B点射出时与边界成45°角，

由几何关系，则有：AC=

2

l-l=（

2

-1）l；
当匀强磁场换为平行边界的匀强电场，场强大小为E₁，使粒子仍从A点以原速度射入，结果粒子离开右边界时与边界的夹角也为45°；
根据运动的分解，则有：水平方向匀速直线运动，竖直方向匀加速直线运动，
因此（

2

-1）l=

1

2

×

qE1

m

×(

l

v

)2；
当将匀强电场的大小换为E₂，方向保持不变，仍让粒子从A点以原速度进入时，结果粒子恰好能从B点离开右边界；
根据速度的分解，则有：v=

qE2

m

×

l

v

．
由以上两式，可解得：

E1

E2

=

2( 2 -1)mv2 ql

mv2 ql

=2(

2

-1)
答：E₁与E₂的比值2（

2

-1）．

点评：考查粒子在磁场中做匀速圆周运动与在电场中做类平抛运动，掌握这两种处理的方法与规律，注意建立圆周运动的已知长度与半径的半径，理解运动学公式与牛顿第二定律在类平抛运动中应用，注意一是利用位移关系，另一利用速度关系，这是解题的关键．