题目内容
14．
如甲图所示，光滑导体轨道PMN和P'M'N'是两个完全一样轨道，是由半径为r的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在M和M'点相切，两轨道并列平行放置，MN和M'N'位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，PP'之间有一个阻值为R的电阻，开关K是一个感应开关（开始时开关是断开的），MNN'M'是一个矩形区域内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道MN离水平地面的高度为h，其截面图如乙所示．金属棒a和b质量均为m、电阻均为R．在水平轨道某位置放上金属棒b，静止不动，a棒从圆弧顶端静止释放后，沿圆弧轨道下滑，若两导体棒在运动中始终不接触，当两棒的速度稳定时，两棒距离$x=\frac{{m\sqrt{2gr}R}}{{2{B^2}{L^2}}}$，两棒速度稳定之后，再经过一段时间，b棒离开轨道做平抛运动，在b棒离开轨道瞬间，开关K闭合．不计一切摩擦和导轨电阻，已知重力加速度为g．求：（1）两棒速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
（2）两棒落到地面后的距离是多少？
（3）整个过程中，两棒产生的焦耳热分别是多少？
分析 （1）a棒沿光滑圆轨道下滑时机械能守恒，根据机械能守恒定律求出a棒运动到圆轨道最低点M时的速度．两棒速度稳定时速度相同．对于a、b两棒组成的系统，由于合外力为零，所以系统的动量守恒，结合动量守恒定律，即可求解最终的速度；
（2）经过一段时间后b棒离开轨道做平抛运动．a棒与电阻R组成闭合电路，对a棒，运用动量定理求出a棒离开轨道时的速度，再由平抛运动的规律求两棒落到地面后的距离．
（3）由通量守恒定律，即可求解整个过程中两棒产生的焦耳热．．
解答 解：（1）a棒沿圆轨道运动到最低点M时，由机械能守恒定律得：
mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得a棒到达M点时的速度为：v0=$\sqrt{2gr}$
a棒进入磁场向右运动时，两棒和导轨构成的回路面积减小，磁通量减小，产生感应电流，a棒受到向左的安培力而做减速运动，b棒在向右的安培力作用力向右做加速运动，只要a棒的速度大于b棒的速度，回路总有感应电流，a棒继续减速，b棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积不变，磁通量不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动．
从a棒进入水平轨道开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒在水平方向受到的安培力总是大小相等、方向相反，系统的合外力为零，所以两棒的总动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv0=2mv1．
解得两棒最终匀速运动的速度为：v1=$\frac{\sqrt{2gr}}{2}$
（2）经过一段时间后，b棒离开轨道做平抛运动．a棒与电阻R组成闭合电路，从b棒离开轨道到a棒离开轨道的过程中，a棒受到的安培力的冲量为：
IA=B$\overline{I}$Lt=BL$\frac{△Φ}{2Rt}$t=$\frac{BL•BLx}{2R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{2R}$
对a棒，运用动量定理得（取向右为正方向）
-IA=mv2-mv1
解得：v2=$\frac{\sqrt{2gr}}{4}$
由平抛运动的规律得：两棒落到地面后的距离是：△x=（v1-v2）$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{rh}}{2}$
（3）b棒离开轨道前，两棒通过的电流大小总是相等，两棒产生的焦耳热相等，Qa=Qb．
由能量守恒定律得：Qa+Qb=$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$×2mv12=$\frac{1}{2}$mgr
可得：Qa+Qb=$\frac{1}{4}$mgr
b棒离开轨道后a棒产生的焦耳热为：Qa′=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$mv12-$\frac{1}{2}$mv22）=$\frac{3}{32}$mgr
所以a棒产生的总焦耳热为：Q=Qa+Qa′=$\frac{1}{3}$mgr
答：（1）两棒速度稳定时，两棒的速度均是$\frac{\sqrt{2gr}}{2}$．
（2）两棒落到地面后的距离是$\frac{\sqrt{rh}}{2}$．
（3）整个过程中，a、b两棒产生的焦耳热分别是$\frac{1}{3}$mgr和$\frac{1}{4}$mgr．
点评 解决本题的关键是要正确分析两棒的运动情况，知道两棒都在磁场中运动时系统遵守动量守恒定律，与完全非弹性碰撞相似，抓住基本规律：动量守恒定律和能量守恒定律进行研究．
如图，间距为L的两水平虚线间存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，边长为L的正方形闭合金属线框自上方某处自由释放，线框平面始终在同一竖直平面内，下边始终水平，以刚进入磁场时为计时起点，则线框所受安培力F大小随时间t变化的图线可能为（ ）
| A． | $\frac{F}{8}$ | B． | F | C． | 2F | D． | $\frac{F}{4}$ |
如图所示，一轻质弹簧的上端固定在倾角为30°的光滑斜面顶部，下端栓接小物块A，A通过一段细线与小物块B相连，系统静止时B恰位于斜面的中点．将细线烧断，发现当B运动到斜面底端时，A刚好第三次到达最高点．已知B的质量m=2kg，弹簧的劲度系数k=l00N/m，斜面长为L=5m，且始终保持静止状态，重力加速度g=l0m/s2．
如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平面上，水平虚线PQ下方有垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为B．正方向闭合金属线框边长为l，质量为m，电阻为R，放置于PQ上方一定距离处，保持线框底边ab与PQ平行并由静止释放，当ab边到达PQ时，线框速度为v0，ab边到达PQ下方距离d（d＞l）处时，线框速度也为v0，下列说法正确的是（ ）| A． | ab边刚进入磁场时，电流方向为a→b | |
| B． | ab边刚进入磁场时，线框做加速运动 | |
| C． | 线框进入磁场过程中的最小速度可能等于$\frac{mgRsinθ}{{{B^2}{l^2}}}$ | |
| D． | 线框进入磁场过程中产生的热量为mgdsinθ |
如图所示，等腰直角三角形棱镜ABC，一组平行光线垂直斜面AB射入．
某同学用图示装置研究碰撞中的动量守恒，实验中使用半径相等的两小球A和B，实验的主要步骤如下：