Question

如图所示，用特殊材料制成的PQ界面垂直于x轴，只能让垂直打到PQ界面上的电子通过．PQ的左右两侧有两个对称的直角三角形区域，左侧的区域内分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，右侧区域内分布着竖直向上匀强电场．现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射向三角形区域，不考虑电子间的相互作用．已知电子的电量为e，质量为m，在△OAC中，OA=l，θ=60°．
（1）求能通过PQ界面的电子所具有的最大速度及其从O点入射时与y轴的夹角；
（2）若以最大速度通过PQ界面的电子刚好被位于x轴上的F处的接收器所接收，求电场强度E；
（3）在满足第（2）问的情况下，求所有能通过PQ界面的电子最终穿过x轴的区间宽度．

Answer 1

分析：（1）由题意，要使电子能通过PQ界面，电子飞出磁场的速度方向必须水平向右，电子运动的半径最大，对应的速度最大，由几何知识求出最大半径，即可求得电子的最大速度，并由数学知识求出电子从O点入射时与y轴的夹角．
（2）以最大速度通过PQ界面的电子进入电场后做类平抛运动，刚好被位于x轴上的F处的接收器所接收，水平位移为

3

l，竖直位移为l，由牛顿第二定律和运动学公式求解E．
（3）电子进入电场后做类平抛运动，出电场后做匀速直线运动穿过x轴，设类平抛运动的水平分位移为x₁，竖直分位移为y₁，出电场时速度的方向与水平方向的夹角为β，出电场后做匀速直线运动的水平分位移为x₂，其轨迹与x轴的交点与PQ界面的距离为s．根据类平抛运动的规律和数学知识求解．

解答：解：（1）要使电子能通过PQ界面，电子飞出磁场的速度方向必须水平向右．
由Bev=m

v2

r

可知，轨迹半径 r=

mv

qB

，r越大v越大，从C点水平飞出的电子，运动半径最大，对应的速度最大，即r=2l时，电子的速度最大，故最大速度为 v_m=

2Bel

m

，其从O点入射时与y轴夹角为30°．
（2）以最大速度通过PQ界面的电子进入电场后做类平抛运动，刚好被位于x轴上的F处的接收器所接收，则在电场中，有：
   

3

l=v_mt，
    l=

1

2

at2
又 a=

eE

m

解得E=

8B2el

3m

（3）电子进入电场后做类平抛运动，出电场后做匀速直线运动穿过x轴，设类平抛运动的水平分位移为x₁，竖直分位移为y₁，出电场时速度的方向与水平方向的夹角为β，出电场后做匀速直线运动的水平分位移为x₂，其轨迹与x轴的交点与PQ界面的距离为s．
tan30°=

y1

x1

，
又根据类平抛运动的规律得：x₁=vt，y₁=

1

2

at2，a=

eE

m

可得x₁=

2mv2

3 eE

，tanβ=

at

v

=

2

3

，x₂=

1 2 r-y1

tanβ

故 s=（

3

l-

3

2

r）+x₁+x₂=

3

l-

3 mv

4eB

+

3 m2v2

8B2e2l2

，其中0≤v≤v_m
当v=

vm

2

时，s_min=

7 3

8

l
当v=0（或v=v_m）时，s_max=

3

l
所以所有能通过PQ界面的电子最终穿过x轴的区间宽度为s_max-s_min=

3

l-

7 3

8

l=

3

8

l
答：
（1）能通过PQ界面的电子所具有的最大速度是

2Bel

m

，其从O点入射时与y轴的夹角是30°；
（2）若以最大速度通过PQ界面的电子刚好被位于x轴上的F处的接收器所接收，电场强度E是

8B2el

3m

．
（3）所有能通过PQ界面的电子最终穿过x轴的区间宽度为

3

8

l．

点评：本题考查分析较为复杂的磁场、电场与力学的综合题，关键能画出电子的运动轨迹，充分运用数学知识进行分析和求解．