Question

如图所示，第一象限内有匀强磁场，磁场区域上边界刚好与直线y=6

3

cm重合，磁感应强度为B=0.5T．一个带正电的离子在坐标（6

3

cm，0）的A点以某一速度进入磁场区域，进入磁场时速度方向与x轴正向夹角为30°，离子质量为m=10^-16kg，带电量为q=10^-10C．不计离子重力．
（1）若离子离开磁场时位置坐标为（6

3

cm，6

3

cm）的C点，求离子运动的速度大小？
（2）当离子进入磁场的速度为v=10⁴m/s，求离子在磁场中运动时间是多少？

Answer 1

分析：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，先画出轨迹，根据几何关系求出轨迹半径，结合洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律，即可求解离子运动的速度大小；
（2）根据洛伦兹力提供向心力，求出离子的轨迹半径，作出粒子的运动轨迹，由几何关系确定出轨迹对应的圆心角，即可求得运动的时间．

解答：解：（1）离子从c点离开磁场区域时，其运动轨迹如图1所示，设离子的轨迹半径为r．
由几何关系：rsin60°=

a

2

得轨迹半径为：r=

3

3

a
又离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则得：
  qvB=m

v 2 0

r

得：
 v₀=

qBr

m

=

3 qBa

3m

=

3

3

×

10-10×0.5×6 3 ×10-2

10-16

m/s=3×10⁴m/s
（2）当离子进入磁场的速度为v=10⁴m/s，轨迹半径为：R=

mv

qB

=

10-16×104

10-10×0.5

m=0.02m=2cm
设离子的轨迹恰好与ac直线相切时，如图2所示，轨迹半径为r₀．
根据几何知识有：r₀+r₀cos30°=a=6

3

cm
解得，r₀=5.568cm
因为R＜r₀，所以离子在磁场运动的轨迹如图3所示，轨迹对应的圆心角为：θ=300°
故离子在磁场中运动时间是：t=

θ

360°

T=

300°

360°

×

2πm

qB

=

5

6

×

2×3.14×10-16

10-10×0.5

s≈1.05×10^-5s
答：
（1）若离子离开磁场时位置坐标为（6

3

cm，6

3

cm）的C点，离子运动的速度大小是3×10⁴m/s．
（2）当离子进入磁场的速度为v=10⁴m/s，离子在磁场中运动时间约是1.05×10^-5s．

点评：对于粒子在磁场中做匀速圆周运动问题，掌握洛伦兹力与向心力的表达式，理解牛顿第二定律与几何关系的应用，注意画出正确的运动轨迹图，是解题的关键．