Question

（10分）若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和m，月心-地心间的距离为R，万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为。这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。

Answer 1

解析：

因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它们相对惯性系都有加速度，故它们都不是惯性参考系．相对非惯性参考系，牛顿第二定律不成立．如果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律，必须引入相应的惯性力；而这两位学生又都未引入惯性力，所以他们得到的结果原则上都是错误的．

以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系，设地球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有

，                                              (1)

加速度的方向指向月球．相对地心参考系，月球受到惯性力作用，其大小

，                                                    (2)

方向指向地球，与月球受到的万有引力的方向相同．若月球相对地心系的加速度为，则有

．                                      (3)

由(1)、(2)、(3)三式，得

，                                            (4)

加速度的方向指向地球。

以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系，设月球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有

，                                              (5)

加速度的方向指向地球．相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小

，                                                   (6)

方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同．若地球相对月心系的加速度为，则有

．                                      (7)

由(5)、(6)、(7)三式得

，                                             (8)

加速度的方向指向月球。

(4)式与(8)式表明，地球相对月心系的加速度与月球相对地心系的加速度大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致。