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神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成,两星视为质点,不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如下图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);

(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式;

(3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s,运行周期T=4.7π×104 s,质量m1=6ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗?

(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,ms=2.0×1030 kg)

解析:(1)设A、B圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有

    FA=m1ω2r1  FB=m2ω2r2  FA=FB

    设A、B之间的距离为r,又r=r1+r2,由上述各式得:            ①

    由万有引力定律,有

   

    将①代入得

   

    令

    比较可得

                                              ②

(2)由牛顿第二定律,有

                                            ③

    又可见星A的轨道半径

                                                   ④

    由②③④式解得

                                        ⑤

(3)将m1=6ms代入⑤式,得

   

    代入数据得

                                     ⑥

    设m2=nms(n>0),将其代入⑥式,得

                        ⑦

    可见,的值随n的增大而增大.

    试令n=2,得

    =0.125ms<3.5ms                           ⑧

    若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论:暗星B有可能是黑洞.

答案:(1)  (2)

(3)暗星B有可能是黑洞

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