Question

（2009?崇文区一模）用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子．在电离室中使纳米粒子电离后表面均匀带正电，且单位面积的电量为q₀．电离后，粒子缓慢通过小孔O₁进入极板间电压为U的水平加速电场区域I，再通过小孔O₂射入相互正交的恒定匀强电场、匀强磁场区域II，其中电场强度为E，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外．收集室的小孔O₃与O₁、O₂在同一条水平线上．已知纳米粒子的密度为ρ，不计纳米粒子的重力及纳米粒子间的相互作用．（V_球=

4

3

πr3，S_球=4πr²）
（1）如果半径为r₀的某纳米粒子恰沿直线O₁O₃射入收集室，求该粒子的速率和粒子半径r₀；
（2）若半径为4r₀的纳米粒子进入区域II，粒子会向哪个极板偏转？计算该纳米粒子在区域II中偏转距离为l（粒子在竖直方向的偏移量）时的动能；（r₀视为已知）
（3）为了让半径为4r₀的粒子沿直线O₁O₃射入收集室，可以通过改变那些物理量来实现？提出一种具体方案．

Answer 1

分析：1、根据电场力等于洛伦兹力计算带电粒子的速度．半径为r₀的纳米粒子质量m=ρ×

4

3

πr3，电量q=q0×4πr2，粒子在区域Ⅰ中加速运动，运用动能定理qU=

1

2

mv2，代入数据计算粒子半径．
2、由半径的不同，导致速度大小不一，从而出现洛伦兹力与电场力不等现象，根据其力大小确定向哪个极板偏转．粒子在区域Ⅱ中，由动能定理   Eq′l=EK-

1

2

m′v′2q′=q0×4π(4r0)2m′=ρ×

4

3

π(4r0)3，可计算该纳米粒子在区域II中偏转距离为l时的动能．
3、根据计算出的粒子半径，粒子沿直线射入收集室可以通过改变电场强度E、磁感应强度B和加速电压U来实现．

解答：解：（1）半径为r₀的纳米粒子在区域Ⅱ中沿直线运动，受到电场力和洛伦兹力作用
由F_洛=qvB
F_电=Eq
得qvB=Eq       ①
v=

E

B

②
粒子在区域Ⅰ中加速运动，通过小孔O₂时的速度为v
由动能定理    qU=

1

2

mv2③
半径为r₀的纳米粒子质量m=ρ×

4

3

πr3④
电量q=q0×4πr2⑤
由②③④⑤式得   r0=

6q0UB2

ρE2

⑥
（2）由③④⑤式得半径为r₀的粒子速率v=

6q0U ρr0

⑦
由⑦式判断：粒子半径为4 r₀时，粒子速度v'=

v

2

，故F_洛＜F_电，粒子向上极板偏  
设半径为4r₀的粒子质量m'、电量q'，偏转距离为l时的动能为E_k
解法一：粒子在区域Ⅰ、Ⅱ全过程中，由动能定理E_k=q'U+q'El⑧
q′=q0×4π(4r0)2⑨
由⑧⑨式得粒子动能  Ek=64π

r

2 0

q0(U+El)⑩
解法二：粒子在区域Ⅱ中，由动能定理   Eq′l=EK-

1

2

m′v′2q′=q0×4π(4r0)2m′=ρ×

4

3

π(4r0)3
得   Ek=64π

r

2 0

q0(U+El)
（3）由⑥式可知，粒子沿直线射入收集室可以通过改变电场强度E、磁感应强度B和加速电压U来实现．
只改变电场强度E，使电场强度E为原来的

1

2

，则半径为4r₀的粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡，能沿直线射入收集室．
答：（1）如果半径为r₀的某纳米粒子恰沿直线O₁O₃射入收集室，则该粒子的速率为

E

B

，粒子半径r0=

6q0UB2

ρE2

；
（2）若半径为4r₀的纳米粒子进入区域II，粒子向上极板偏．该纳米粒子在区域II中偏转距离为l（粒子在竖直方向的偏移量）时的动能为Ek=64π

r

2 0

q0(U+El)．
（3）为了让半径为4r₀的粒子沿直线O₁O₃射入收集室，可以只改变电场强度E，使电场强度E为原来的

1

2

，则半径为4r₀的粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡，能沿直线射入收集室．

点评：本题考查运用动能定理求带电粒子在电场中加速后的速度大小，再洛伦兹力与电场力关系来确定偏向何处．同时注意紧扣题目中隐含的条件．此题有一定的难度，属于难题．