Question

如图，质量为M的圆柱形木棒竖直放置，在其顶部套有质量为m的薄铁环，当棒和环有相对运动时，棒和环之间有大小恒为kmg（k＞1）的摩擦力．现突然在棒下端给棒一个很大的冲击力，使棒在瞬间具有竖直向上的初速度v₀．若要求铁环在木棒落地前不滑离木棒．
（1）此木棒的长度L不得少于多少？
（2）求棒上升的最大高度．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出铁环和木棒的加速度，抓住相对加速度，根据相对末速度为零，结合速度位移公式求出木板的至少长度．
（2）根据牛顿第二定律，结合运动学公式求出环和棒速度相等时上升的高度，然后一起向上做匀减速直线运动，通过速度位移公式求出一起匀减速运动的位移，从而得出上升的最大高度．

解答：解：（1）铁环的加速度a1=

kmg-mg

m

=(k-1)g，方向竖直向上．
木棒的加速度a2=

kmg+Mg

M

，方向竖直向下．
则环相对木棒的加速度a=a1+a2=

kg(M+m)

M

．
木棒的长度至少应等于环相对木棒的最大位移，L=

v02

2a

=

M v 2 0

2kg(M+m)

．
（2）环棒速度相等时有：
对铁环有：v=a₁t
对木棒有：v=v₀-a₂t
由以上各式得，v=

a1

a1+a2

v0=

(k-1)Mv0

k(M+m)

设此时木棒上升的最大高度为h₁，以木棒初速度方向为正方向
v2-v02=-2a2h1
得h1=

v02-v2

2a2

=

(2kM+km-M)Mv02

2gk2(m+M)2

环棒速度相同后一起向上做匀减速运动
h2=

v2

2g

=

(k-1)2M2v02

2gk2(m+M)2

则棒上升的最大高度h=h1+h2=

(kM+m)M v 2 0

2k(M+m)2g

．
答：（1）此木棒的长度L不得少于

M v 2 0

2kg(M+m)

．
（2）棒上升的最大高度为

(kM+m)M v 2 0

2k(M+m)2g

．

点评：本题考查了牛顿第二定律的运动学公式的综合运用，对学生能力要求较高，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．