Question

如图所示，在直角坐标系xoy中，坐标原点为O处存在一粒子源，现沿与y 轴左右均成30°的范围内不断发射出质量为 m，电荷量为 q，速率为 v 的负离子．理想直线边界 MN 通过 O 点，且与x轴成θ=30°，在MN上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在MN下方存在与x轴成30°的匀强电场，场强大小为E，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．
（1）求离子打到OM上的最大距离；
（2）求沿+y方向射出的离子从射出到第三次经过MN边界所需要的时间；
（3）若匀强磁场仅在MN上方某个区域内存在，要使得这些离子均以平等于+x方向的速度通过OM，求该磁场的最小面积．

Answer 1

分析：（1）离子打到OM上的最大距离就是圆的最大弦长，即直径；
（2）作出沿+y方向射出的离子从射出到第三次经过MN边界的轨迹图，在轨迹的图中找出时间与路径的关系；

解答：解：如图1，垂直于MN方向的粒子打到OM最远；

由牛顿第二定律：Bqv=

mv2

R

，解得：R=

mv

Bq

粒子达到OM上的最大距离：2R=

2mv

Bq

（2）作出沿+y方向射出的离子从射出到第三次经过MN边界的轨迹图如图2，在磁场中运动的时间：t1=T=

2πm

Eq

在电场中运动的时间：t2=

2v

a

=

2mv

qE m

=

2mv

qE

t=t1+t2=

2πm

qB

+

2mv

qE

（3）粒子在磁场中做圆周运动的半径：R=

mv

qB

要使得这些离子均以平等于+x方向的速度通过OM，磁场的形状如图3实线所示
由几何关系得：S=S_大-S_小
S大 =2(

1

3

πR2-

1

2

R2sin120°)
S小=2(

1

6

πR2-

1

2

R2sin60°)
S=2(

1

3

πR2-

1

2

R2sin120°)-2(

1

6

πR2-

1

2

R2sin60°)=

1

3

πR2=

π

3

(

mv

qB

)2=

πm2v2

3B2q2

答：（1）离子打到OM上的最大距离

2mv

Bq

；
（2）沿+y方向射出的离子从射出到第三次经过MN边界所需要的时间

2πm

qB

+

2mv

qE

；
（3）该磁场的最小面积

πm2v2

3B2q2

．

点评：根据粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，依据几何特性作图是解题的关键之处．是典型的数理结合的题型，是难题．