Question

如图所示圆柱形屋顶中心的天花板上的O点，挂一根长L=2m的细绳，挂一个m=0.8kg的小球，绳承受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动，速度逐渐增大到绳被拉断后，小球恰以E_k=7.2J的动能落在墙角，求这个圆柱形房屋的高度H和半径R．（g=10m/s²）

Answer 1

分析：先对小球受力分析，受重力和拉力，合力水平，提供向心力，结合牛顿第二定律求解出绳子与竖直方向的夹角；小球在绳子断开后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动求出下落的高度，根据几何关系即可求得H，根据向心力公式求出绳断时的速度，进而求出水平位移，再根据几何关系可求R．

解答：解：如图（1）所示，取小球为研究对象，设绳刚要断裂时细绳的拉力大小为T，绳与竖直方向夹角为α，则在竖直方向有：Fcosα=mg
故cosθ=

mg

T

=0.8，所以有：θ=37°
球做圆周运动的半径为：r=Lsin37°=2×0.6m=1.2m，
O、O′间的距离为：OO′=Lcos37°=1.6m，
则O′、O″间的距离为：O′O″=H-OO′=H-1.6m．
由牛顿第二定律知：Tsinθ=m

v 2 A

r

解得：v_A=

Trsinθ m

=3m/s
设在A点绳断，细绳断裂后小球做平抛运动，落在墙边C处．
设A点在地面上的投影为B，如答图（2）所示．
小球恰以E_k=7.2J的动能落在墙角，故落地速度为：v=

2Ek m

=

2×7.2 0.8

=3

2

m/s
由运动的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平抛运动的时间为：t=

v2- v 2 A

g

=0.3s             
由平抛运动的规律可知小球在竖置方向上的位移为：s_y=

1

2

gt²=H-1.6m，
所以屋的高度为：H=

1

2

gt²+1.6m=

1

2

×10×0.3²m+1.6m=2.05m，
小球在水平方向上的位移为：s_x=BC=v_At=3×0.3=0.9m
由图可知，圆柱形屋的半径为：R=

r2+(BC)2

=1.5m
答：这个圆柱形屋顶的高度H为2.05m，半径R为1.5m．

点评：本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，要求同学们能画出小球运动的轨迹，能结合几何关系解题，难度适中．