题目内容
如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的场强为B匀强磁场，其边界AB、CD的宽度为d，在左边界的Q点处有一质量为m，带电量为负q的粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度？
（2）若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压及整个过程中粒子在磁场中运动的时间？
（3）若带电粒子的速度是（2）中的
| 3 |
分析：（1）先作出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出粒子能从左边界射出时临界情况的轨道半径，根据洛伦兹力提供向心力公式即可求解最大速度；
（2）根据几何知识求磁场中轨迹半径，由动能定理求极板间电压．
带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入匀强电场中减速至零，然后由静止返回做匀加速运动，再进入磁场做匀速圆周运动，画出轨迹，确定磁场中运动轨迹对应的圆心角，求出通过磁场的时间．
（3）若带电粒子的速度是（2）中的
倍，求出轨迹半径，画出轨迹，由几何知识求粒子能打到CD边界的范围．
（2）根据几何知识求磁场中轨迹半径，由动能定理求极板间电压．
带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入匀强电场中减速至零，然后由静止返回做匀加速运动，再进入磁场做匀速圆周运动，画出轨迹，确定磁场中运动轨迹对应的圆心角，求出通过磁场的时间．
（3）若带电粒子的速度是（2）中的
| 3 |
解答：解：（1）粒子能从左边界射出，临界情况是轨迹与磁场右边界相切，粒子的运动轨迹如图所示，则有 R+Rcos30°=d
由Bqv=m
得 v=
=
所以粒子能从左边界射出速度应满足v≤
．
（2）粒子能从右边界射出，由几何知识得R=
由Bqv2=m
和
m
=qU
解得 U=
=
故粒子不碰到右极板所加电压满足的条件 U≥
因粒子转过的圆心角为60°，所用时间为
，而T=
因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间 t=2×
=
（3）当粒子速度为是（2）中的
倍时 解得 R′=2d粒子，如图
由几何关系可得l=2×2dcos30°=2
d
答：
（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度为
．
（2）极板间电压为
，整个过程中粒子在磁场中运动的时间为
．
（3）粒子能打到CD边界的范围为2
d．
由Bqv=m
| v2 |
| R |
| Bqd |
| m(1+cos30°) |
2(2-
| ||
| m |
所以粒子能从左边界射出速度应满足v≤
2(2-
| ||
| m |
（2）粒子能从右边界射出，由几何知识得R=
| d |
| cos30° |
由Bqv2=m
| ||
| R |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 2 |
解得 U=
| B2qd2 |
| 2mcos230° |
| 2B2qd2 |
| 3m |
故粒子不碰到右极板所加电压满足的条件 U≥
| 2B2qd2 |
| 3m |
因粒子转过的圆心角为60°，所用时间为
| T |
| 6 |
| 2πm |
| Bq |
因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间 t=2×
| T |
| 6 |
| 2πm |
| 3Bq |
（3）当粒子速度为是（2）中的
| 3 |
由几何关系可得l=2×2dcos30°=2
| 3 |
答：
（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度为
2(2-
| ||
| m |
（2）极板间电压为
| 2B2qd2 |
| 3m |
| 2πm |
| 3qB |
（3）粒子能打到CD边界的范围为2
| 3 |
点评：带电粒子在磁场中的运动要把握其运动规律，在磁场中要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径，画出运动轨迹，难度适中．
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