Question

20．如图甲所示，在该磁场外部，有匝数为n、电阻为r、横截面积为S的螺线管和阻值为2r的电阻组成串联电路，螺线管内沿轴线方向存在按如图乙所示变化的磁场，磁场在t₀时间内从零开始增大到B₀．（t_o足够长），如图丙所示，两个共轴的正方形金属筒，外极板每边的中点各有一小孔，分别为a、b、c、d，正方形外筒的边长为L，内筒、外筒间距离为d₀．在极板外面存在足够大且垂直截面向里的匀强磁场．两个共轴的正方形金属板与与螺线管用导线相连．在t=0时刻，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点从静止释放一质量为m、带电量为+q的粒子，该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，（不计重力，整个装置在真空中．）
（1）求两金属板电极间电压的大小？
（2）求粒子经过a点时速度的大小？
（3）求图（丙）中垂直于截面向里的匀强磁场大小？
（4）求粒子从S出发到再次回到S点运动所用的总时间？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出螺线管产生的感应电动势，由欧姆定律求出电流，再得到两金属板电极间电压．
（2）粒子在两个正方形间加速，由动能定理求粒子经过a点时速度的大小．
（3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，画出轨迹，求出轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力，列式求解匀强磁场大小．
（4）先由牛顿第二定律和运动学规律结合求电场中加速所用时间，再根据粒子在磁场中轨迹求磁场中运动时间，从而求得总时间．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律得螺线管产生的感应电动势为：
E=nS$\frac{△B}{△t}$=nS$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$
感应电流为：$I=\frac{E}{r+2r}$
两金属板电极间电压为：$U=I×2r=\frac{{2nS{B_0}}}{{3{t_0}}}$
（2）由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
得速度为：$v=\sqrt{\frac{{4qnS{B_0}}}{{3m{t_0}}}}$
（3）$由圆周规律qV{B_1}=m\frac{v^2}{R}$，又 $R=\frac{L}{2}$
得：${B_1}=\frac{4m}{qL}\sqrt{\frac{{qnS{B_0}}}{{3m{t_0}}}}$
（4）设电场中加速一次用时为 t₁，由牛顿第二定律有：$a=\frac{qU}{md}$      
由v=at₁得：${t_1}=d\sqrt{\frac{{3m{t_0}}}{{qnS{B_0}}}}$
设磁场中转一次用时为t₂，则有：${t_2}=\frac{3}{4}T=\frac{3πL}{8}\sqrt{\frac{{3m{t_0}}}{{qnS{B_0}}}}$
故总时间为：${t_总}=8{t_1}+4{t_2}=（8d+\frac{3πL}{2}）\sqrt{\frac{{3m{t_0}}}{{qnS{B_0}}}}$
答：（1）两金属板电极间电压的大小为$\frac{2nS{B}_{0}}{3{t}_{0}}$．
（2）粒子经过a点时速度的大小为$\sqrt{\frac{4qnS{B}_{0}}{3m{t}_{0}}}$．
（3）图（丙）中垂直于截面向里的匀强磁场大小为$\frac{4m}{qL}$$\sqrt{\frac{qnS{B}_{0}}{3m{t}_{0}}}$．
（4）粒子从S出发到再次回到S点运动所用的总时间为（8d+$\frac{3πL}{2}$）$\sqrt{\frac{3m{t}_{0}}{qnS{B}_{0}}}$．

点评 本题是电磁感应、电场加速和磁场中圆周运动的综合，画出粒子的运动轨迹、把握每个过程的规律和相互间的联系是解题的关系．