Question

如图所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的相同．一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一定的速度v平行于x轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x=R平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场的同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点．不计带电粒子的重力．求：
（1）粒子到达x=R平面时的速度v；
（2）M点到坐标原点O的距离x_M．

Answer 1

【答案】分析：（1）同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，得到场强与磁感应强度的关系．只有磁场时粒子将做半径为R的圆周运动，由牛顿第二定律求出磁感应强度．只有匀强电场时，带电粒子做类平抛运动，由牛顿第二定律求出加速度，运用运动的合成和分解法求出粒子到达x=R平面时的速度v；
（2）撤除电场加上磁场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出半径，画出轨迹，根据几何知识求解M点到坐标原点O的距离x_M．
解答：解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，匀强电场的场强和匀强磁场的磁感应强度分别为E和B．
由题意          qE=qBv
由牛顿第二定律  
只有匀强电场时，带电粒子做类平抛运动．
由牛顿第二定律  qE=ma
如图所示，带电粒子到达A点时
   v_x=v
   v_y=at
   R=v_xt
粒子速度大小为 
解得       
设速度v的方向与x轴正方向的夹角为θ，则 
解得        
（2）撤除电场加上磁场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆轨道半径为R，
由牛顿第二定律  
解得            
粒子运动轨迹如图所示，A点到x轴的距离为  
圆心C位于与速度v方向垂直的直线上，由几何关系，该直线与x轴负向和y轴负向的夹角均为
则C点坐标为    x_C=2R，
过C点作x轴的垂线，垂足为D，在△CDM中，，
，
解得  ．
答：
（1）粒子到达x=R平面时的速度v是，方向与x轴正方向的夹角为．
（2）M点到坐标原点O的距离x_M为2R+．
点评：本题是综合性很强的带电粒子在电磁场中运动的问题，对电场中运动的合成与分解法、磁场中画轨迹，运用几何知识求距离等等方法要熟练，难度较大．