Question

16．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点P时，对管壁上部的压力为8mg，B通过最高点P时，与管壁刚好无压力求A、B两球落地点间的距离．

Answer 1

分析 A球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向下，大小为8mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出A球在最高点速度．
B球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向上，大小为0，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出B球在最高点速度．
两球从最高点飞出后均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出运动时间．水平方向做匀速直线运动，由速度和初速度求解水平位移，A、B两球落地点间的距离等于位移之差

解答 解：在最高点，小球A受到重力和向下的压力，如右图所示

根据牛顿第二定律和向心力公式得
mg+F_N=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
即mg+8mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
则v_A=3$\sqrt{gR}$
在最高点，小球B受到重力，
根据牛顿第二定律和向心力公式得
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
则v_B=$\sqrt{gR}$
A、B两小球都做平抛运动，水平方向上：x=v₀t
竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
则A、B两球落地点间的距离
△x=v_At-v_Bt=（3$\sqrt{gR}$$-\sqrt{gR}$）$\sqrt{\frac{4R}{g}}$
所以△x=4R
答：A、B两球落地点间的距离为4R．

点评 本题是向心力知识和平抛运动的综合应用，常规题，关键是明确运动形式后选择相应的运动规律．