Question

如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B 的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中 a、b 两点在同一水平线上，两点相距 l。带电量 q>0，质量为 m 的质点 P，以初速度 v 从 a 对准 b 射出。略去空气阻力，不考虑 P 与地面接触的可能性，设定 q、m 和 B 均为不可改取的给定量。 

 (1)若无论 l 取什么值，均可使 P 经直线运动通过 b 点，试问 v 应取什么值? 

(2)若 v 为(1)问可取值之外的任意值，则 l 取哪些值，可使 P 必定会经曲线运动通过 b 点? 

(3)对每一个满足(2)问要求的 l 值，计算各种可能的曲线运动对应的 P 从 a 到 b 所经过的时间。

(4)对每一个满足(2)问要求的 l 值，试问 P 能否从 a 静止释放后也可以通过 b 点?若能，再求P 在而后运动过程中可达到的最大运动速率 vmax。 

Answer 1

解析：（1）要使 P 经直线运动通过 b 点，必有：mg=qvB，

解得：v=mg/qB。①

(2)设质点速度为v+△v，质点所受洛伦兹力为q(v+△v)B，与重力合力为mg+ q(v+△v)B= q△vB，所以质点的运动可视为沿ab连线方向做速度为v的匀速直线运动和速度为△v的圆周运动的合运动，要使质点通过b点，t=nT，②

T=，③

l =vt，④

联立①②③④解得：l =。（n=1,2,3,4···）⑤⑤

（3）由②③解得：t=（n=1,2,3,4···），

(4) 质点P从 a 静止释放后的运动可视为沿水平方向速度v= mg/qB的匀速直线运动和沿反方向的线速度v= mg/qB的匀速圆周运动，一个周期质点前进距离L=vT= mg/qB·=。

所以P从 a 静止释放后可以通过 b 点。

当质点做匀速圆周运动到最高点时运动速率最大，最大运动速率 vmax=2v=2mg/qB，

【点评】此题采用递进式命题方式，从易到难。此题以带电质点在复合场中的运动切入，意在考查速度分解、带电质点的运动及其相关知识。