题目内容
20．
如图所示，两块水平平行装置的导电板，板距为d，导电板的右侧存在一有界的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场的左边界PQ紧挨导电板，大量电子（质量为m，电荷量为e，初速度为$\frac{2\sqrt{3}{U}_{0}e{t}_{0}}{3md}$）连续不断地沿OO′方向射入两板之间，当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为3t0，当在两板间加如图乙所示的周期为2t0、幅值恒为U0的周期性电压时，所有的电子均能从两板间通过，进入磁场区域（不计重力）（1）求这些电子通过边界PQ时距OO的最大距离和最小距离；
（2）要使这些电子通过边界PQ后仍能回到边界PQ上，则有界磁场的宽度应满足什么条件？
（3）若磁场足够宽，试证明所有电子在边界PQ的出射点与入射点之间的距离为恒量．
分析 （1）电子在极板间沿水平方向做匀速直线运动，两板间有电场时在竖直方向做匀加速直线运动，无电场时做匀速直线运动，应用牛顿第二定律与运动学公式求出到OO′的最大与最小距离．
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，求出电子恰好回到PQ时磁场宽度的临界值，然后答题．
（3）求出电子进入磁场的速度，电子在磁场中做匀速圆周运动，应用牛顿第二定律与几何知识分析答题．
解答 解：（1）在水平方向做匀速直线运动，由题意可知，电子的运动时间：t=3t0，
电子在t=0时进入两板间，电子在竖直方向的位移最大，由牛顿第二定律得，电子在竖直方向的加速度：a=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，
在竖直方向最大位移：ymax=$\frac{1}{2}$at02+at0×t0+at0×t0+$\frac{1}{2}$at02=$\frac{3e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$；
当电子在t=t0时进入两极板间，电子在竖直方向的位移最小，有：
ymin=$\frac{1}{2}$at02+at0×t0=$\frac{3e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$；
（2）电子在t=0时进入两板间，电子进入磁场时速度最大，有：
vmax=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}{U}_{0}e{t}_{0}}{3md}）^{2}+（\frac{e{U}_{0}}{md}×2{t}_{0}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}e{U}_{0}{t}_{0}}{3md}$，
电子进入磁场时速度方向与水平方向的夹角：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{e{U}_{0}}{md}×2{t}_{0}}{\frac{2\sqrt{3}{U}_{0}e{t}_{0}}{3md}}$=$\sqrt{3}$，
得：θ=60°，
电子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与MN相切时，电子通过边界PQ后恰好能回到边界PQ上，电子运动轨迹如图所示：
设磁场的宽度为L，由几何知识得：
rsinθ+r=L，L=$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$r，
电子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{4\sqrt{3}{U}_{0}{t}_{0}}{3Bd}$，L=$\frac{（6+4\sqrt{3}）{U}_{0}{t}_{0}}{3Bd}$；
则磁场宽度应：L≥$\frac{（6+4\sqrt{3}）{U}_{0}{t}_{0}}{3Bd}$；
（3）任意电子进入极板时，设电子进入磁场时速度方向与水平方向的夹角为α，
电子进入磁场时的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$，
子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{m{v}_{0}}{eBcosα}$，
由几何知识可知，电子在边界PQ的出射点与入射点之间的距离：
△y=2rcosα=2×$\frac{m{v}_{0}}{eBcosα}$×cosα=$\frac{2m{v}_{0}}{eB}$，m、v0、e、B是定值，则△y是定值；
答：（1）这些电子通过边界PQ时距OO的最大距离为：$\frac{3e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$，最小距离为：$\frac{3e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$；
（2）要使这些电子通过边界PQ后仍能回到边界PQ上，有界磁场的宽度应满足的条件是：磁场宽度应大于等于≥$\frac{（6+4\sqrt{3}）{U}_{0}{t}_{0}}{3Bd}$；
（3）若磁场足够宽，所电子在边界PQ的出射点与入射点之间的距离为：$\frac{2m{v}_{0}}{eB}$，是恒量．
点评 本题考查带电粒子在电场中和在磁场中的运动，掌握在电场中运动时在沿电场方向和垂直磁场方向上的运动规律，以及掌握在磁场中运动的半径公式，结合几何关系进行求解．
提分百分百检测卷单元期末测试卷系列答案
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一列简谐横波在x轴上传播，某一时刻的波形如图所示，a、b、c是波上的三个质点，质点a向上运动，该波的频率为2Hz，由此可知（ ）| A． | 质点c正向上运动 | B． | 该波沿x轴负方向传播 | ||
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如图甲所示为一小灯泡工作时的I-U图线．现将两只完全相同的小灯泡如图乙连接，已知R0=10Ω，电源电动势为8V，内阻不计，则（ ）| A． | 电流表的读数为0.5A | B． | 小灯泡此时的电阻为6.7Ω | ||
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| B． | 地球同步卫星距地面的高度是一定值，其运行速率恒定 | |
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