Question

如图甲所示，直角坐标系中直线AB与横轴x夹角∠BAO=45°，AO长为a。假设在点A处有一粒子源可沿∠BAO所夹范围内的各个方向放射出质量为m、速度大小均为、带电量为q的电子，电子重力忽略不计。在三角形ABO内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子恰好从O点射出试求：

（1）从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间 t；

（2）磁场大小方向保持不变，改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO内的

左侧，要使得电子从A点出发马上进入磁场且穿过有界磁场后都垂直y轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积；

（3）磁场大小方向保持不变，现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y轴与虚线之间，示意图见图乙所示，仍使放射出的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程（不需要写范围）。

Answer 1

（1）根据题意，电子在磁场中的运动的轨道半径R=                  2分

由qvB=mv²/R及T=2πm/(qB) 得t=T/4=                          3分

（2）电子在磁场中的运动的轨道半径R=                               1分

有界磁场的上边界：以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧 ，圆弧所在圆的方程为：

(x+)²+(y+)²=R²                                    2分

 有界磁场的下边界：设初速度与x轴夹角为θ的电子出磁场位置的坐标为 （x,y）,则x=-(a-Rsinθ),y=R-Rcosθ,                                 2分

消去θ得（x+a）²+(y-R)²=R²                                   1分

  故最小磁场区域面积为上述两个圆相交部分，如图所示

所求面积为 S=2(-R²sincos)=(a²               2分

（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，如右图所示，

由相似三角形得到：                       2分

圆的方程为：x²+(y+b)²=R²                                 2分

消去（y+b）,代入R，得磁场边界的方程为：y= -   1分