Question

如图所示，竖直面内固定的半径为R的光滑半圆弧轨道，左、右端点P、Q圆心在同一水平线上，左端点P距地高

3R

2

，右端点Q正下方质量均为M的物体A、B通过一轻弹簧连接竖直放置处于静止状态，物体A上表面距Q端

R

2

，与物体B处于同一水平面且质量为m的小球C（可视为质点），从P端正下方以一定初速度竖直上抛，经半圆弧轨道后与物体A发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞后，小球C反弹恰能通过圆弧轨道最高点，物体A恰能到达Q端且物体B刚好不离开地面，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）碰撞后，小球C恰能通过圆弧轨道最高点时的速度大小；
（2）质量的比值

m

M

；
（3）小球竖直上抛的初速度V₀．

Answer 1

分析：（1）小球C恰好能通过圆弧最高点，重力提供向心力，根据向心力公式即可求解；
（2）小球C反弹通过圆弧最高点过程中机械能守恒，物体A恰能到达Q端且B刚好不离开地面，重力势能转化为动能，弹性碰撞过程中动量和机械能守恒，根据机械能守恒定律及动量守恒定律列式即可求解；
（3）小球C竖直上抛至与物体A碰撞前的运动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律即可求解．

解答：解：（1）设小球C恰好能通过圆弧最高点时的速度为v，
则有mg=m

v2

R

解得：v=

gR

（2）设小球C与物体A碰撞前速度为v₁，碰后瞬间小球C的速度为v₁′，物体A的速度为v₂′
小球C反弹通过圆弧最高点过程中机械能守恒，

1

2

mv₁′²=

1

2

mv²+mg

3

2

R
解得：v₁′=2

gR

由于物体A恰能到达Q端且B刚好不离开地面，得：

1

2

Mv₂′²=Mg

R

2

解得：v₂′=

gR

以竖直向下为正方向，由弹性碰撞得：
mv₁=m（-v₁′）+Mv₂′

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²+

1

2

Mv₂′²
联立解得：v₁=3

gR

m

M

=

1

5

（3）小球C竖直上抛至与物体A碰撞前的运动过程中机械能守恒，则：

1

2

mv_C²=

1

2

mv₁²+mgR
解得：v_C=

11gR

答：（1）碰撞后，小球C恰能通过圆弧轨道最高点时的速度大小为

gR

；
（2）质量的比值

m

M

为

1

5

；
（3）小球竖直上抛的初速度为

11gR

．

点评：本题主要考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、向心力公式的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，难度适中．