Question

如图所示，一半径R=1m的圆盘水平放置，在其边缘 E点固定一小桶（可视为质点）．在圆盘直径 DE 的正上方平行放置一水平滑道 BC，滑道右端 C点 与圆盘圆心O在同一竖直线上，且竖直高度 h=1.25m．AB为一竖直面内的光滑四分之一圆弧轨道，半径r=0.45m，且与水平滑道相切与B点．一质量m=0.2kg的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，当滑块经过B点时，圆盘从图示位置以一定的角速度ω绕通过圆心的竖直轴匀速转动，最终物块由C 点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内．已知滑块与滑道 BC间的摩擦因数μ=0.2．（取g=10m/s²）求
（1）滑块到达B点时对轨道的压力
（2）水平滑道 BC的长度；
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件．

Answer 1

（1）滑块由A点到B，由动能定理得：mgr=

1

2

mvB2
解得：vB=

2gr

=3m/s
滑块到达B点时，由牛顿第二定律得  F-mg=m

v 2B

r

解得：F=6N
由牛顿第三定律得滑块到达B点时对轨道的压力大小为F′=F=6N，方向竖直向下
（2）滑块离开C后做平抛运动，由h=

1

2

gt2
解得：t1=

2h g

=0.5s
滑块经过C点的速度 vC=

R

t1

=2m/s
滑块由B点到由C点的过程中，由动能定理得  -μmgx=

1

2

mvC2-

1

2

mvB2
解得：x=1.25m
（3）滑块由B点到由C点，由运动学关系：x=

vB+vC

2

t2
解得：t₂=0.5s
滑块从B运动到小桶的总时间为 t=t₁+t₂=1s
圆盘转动的角速度ω应满足条件：t=

2nπ

ω

得ω=2nπrad/s（n=1、2、3、4┅）
答：（1）滑块到达B点时对轨道的压力是6N，方向竖直向下．
（2）水平滑道 BC的长度是1.25m；
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件是ω=2nπrad/s（n=1、2、3、4┅）．