Question

如图所示，L₁、L₂为两平行的直线，间距为d．，L₁下方和，L₂上方的空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度均为
B．现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，以速度v从L₁上的M点射人两线之间的真空区域，速度方向与L₁成θ=30°角．不计粒子所受的重力：
（1）求粒子从M点出发后，经过多长时间第一次回到直线L₂上？
（2）试证明：改变粒子的速度大小，发现无论入射速度v多大（远小于光速），粒子从M点出发后第二次回到L₁上时，必经过同一点，并求出此点距M点的距离．
（3）求v满足什么条件时，粒子恰好能回到M点？

Answer 1

分析：（1）已知两磁场间的距离，根据带电粒子运动速度方向与粒子运动特征求解运动时间；
（2）作出粒子的运动轨迹图，通过几何关系求出A、B两点间的距离．
（3）作出粒子运动轨迹，根据几何关系可知，粒子在磁场中的轨道半径正好等于弦长，从而求出能够回到M点的几何关系．

解答：解：（1）粒子在无磁场区域做匀速直线运动的时间
t=

d

vsin30°

=

2d

v

    ①
（2）粒子在L₂上方的轨迹和L₁下方的轨迹构成一个完整的圆周，由图中

几何关系可知，无论速度多大，均有△MPN是等腰三角形，其中：
∠PMN=∠PNM=30°
粒子第2次经过L₁时离M点的距离为：
MN=2dcot30°=2

3

d
这个结果与v的大小无关，所以无论入射速度v多大（远小于光速），粒子从M点出发后第2次回到L₁上时必经过同一点．
（3）由右图

几何关系可知，粒子在磁场中的轨道半径正好等于弦长．要使粒子在L₂上方的磁场中经过n次偏转能回到M点，粒子在磁场中的轨道半径必须满足：
R=n?2dcot30°（n=1，2，3…）    ②
根据洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
qvB=m

v2

R

       ③
由②和③可得v=

2 3 nqdB

m

(n=1，2，3…)
答：（1）运动时间为

2d

v

（2）MN点距离为2

3

d
（3）速度v满足v=

2 3 nqdB

m

(n=1，2，3…)

点评：能根据粒子的受力情况判断粒子的运动情况，根据粒子运动轨迹和几何关系求解是关键．