Question

如图所示，在以O为圆心，半径为R=10cm的圆形区域内，有一个水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.1T，方向垂直纸面向外。竖直平行放置的两金属板A、K相距为d=20mm，连在如图所示的电路中，电源电动势E=91V，内阻r=1Ω定值电阻R­₁=10Ω，滑动变阻器R₂的最大阻值为80Ω，S₁、S₂为A、K板上的两上小孔，且S₁、S₂跟O点在垂直极板的同一直线上，OS₂=2R，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，O点跟荧光屏D之间的距离为H=2R。比荷为2×10⁵C/kg的正离子流由S₁进入电场后，通过S₂向磁场中心射去，通过磁场后落到荧光屏D上。离子进入电场的初速度、重力、离子之间的作用力均可忽略不计。问：  

（1）请分段描述正离子自S₁到荧光屏D的运动情况。

（2）如果正离子垂直打在荧光屏上，电压表的示数多大？

（3）调节滑动变阻器滑片P的位置，正离子到达荧光屏的最大范围多大？

Answer 1

解：（1）正离子在两金属板间做匀加速直线运动，离开电场后做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场后，离子又做匀速直线运动，直到打在荧光屏上。

   （2）设离子由电场射出后进入磁场时的速度为v。因离子是沿圆心O的方向射入磁场，由对称性可知，离子射出磁场时的速度方向的反向延长线也必过圆心O。离开磁场后，离子垂直打在荧光屏上（图中的O′点），则离子在磁场中速度方向偏转了90°，离子在磁场中做圆周运动的径迹如图答1所示。

由几何知识可知，离子在磁场中做圆周运动的圆半径cm              ①

设离子的电荷量为q、质量为m，进入磁场时的速度为v有

由，得         ②                                                                    

设两金属板间的电压为U，离子在电场中加速，由动能定理有：

                       ③

而                ④

由②③两式可得          ⑤

代入有关数值可得U = 30V，也就是电压表示数为30V。

   （3）因两金属板间的电压越小，离子经电场后获得的速度也越小，离子在磁场中作圆周运动的半径越小，射出电场时的偏转角越大，也就越可能射向荧光屏的左侧。

由闭合电路欧姆定律有，1A

当滑动片P处于最右端时，两金属板间电压的最大，为= 90V；

当滑动片P处于最左端时，两金属板间电压最小，为= 10V；

两板间电压为10V时，离子射在荧光屏上的位置为所求范围的最左端点，

由②③可解得离子射出电场后的速度大小为v₁ = 2×10³m/s，离子在磁场中做圆运动的半径为r₁ = 0.1m，或直接根据⑤式求得r₁ = 0.1m，此时粒子进入磁场后的径迹如图答2所示，

O₁为径迹圆的圆心，A点为离子能射到荧光屏的最左端点。由几何知识可得：

，所以（1分）

所以

cm = 20cm   （1分）

而两板间电压为V时，离子射在荧光屏上的位置为所求范围的最右端点，

此时粒子进入磁场后的径迹如图答3所示，

同理由②③可解得离子射出电场后的速度大小为v₂ = 6×10³m/s，

离子在磁场中做圆运动的半径为r₂ = 0.3m，或直接由⑤式求得r₂ = 0.3m，

由几何知识可得

即β= 120°                                                                                                          

所以cm = 20cm

离子到达荧光屏上的范围为以O′为中点的左右两侧20cm。