Question

一边长为L的正方形闭合金属导线框，其质量为m，回路电阻为R，图中M、N、P为磁场区域的边界，且均为水平，上下两部分磁场的磁感应强度均为B，方向如图所示，图示位置线框的底边与M重合，现让线框由图示位置由静止开始下落，线框在穿过N和P两界面的过程中均为匀速运动，若已知M、N之间的高度差为h₁,h₁＞L，线框下落过程中线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，重力加速度为g，求：

(1)N与P之间的高度差h₂；

(2)在整个运动过程中，线框中产生的焦耳热。

Answer 1

解：（1）在穿过N的过程中

线框中产生的电动势E=2BLv₁

线框中产生的电流I=E/R=2BLv₁/R

线框受到的安培力F=2BIL=4B²L²v₁/R

由平衡得mg=4B²L²v₁/R

v₁=mgR/4B²L²

同理线框穿过P过程中的运动速度

v₂=mgR/B²L²

由机械能守恒定律得mg(h₂-L)=mv₂²/2-mv₁²/2

得h₂=L+(v₂²-v₁²)/2g

=L+15m²gR²/32B⁴L⁴

(2)穿过M时产生的电热Q₁=mgh₁-mv₁²/2

=mgh₁-m³g²R²/32B⁴L⁴

穿过N或P时产生的电热为Q₂=mgL

共产生热量为Q=Q₁+2Q₂

=2mgL+mgh₁-m³g²R²/32B⁴L⁴。