Question

河宽d＝100 m，水流速度v₁＝3 m/s，船在静水中的速度v₂＝4 m/s．求：

(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多少？

(2)欲使船航行的距离最短，船应怎样渡河？渡河时间是多少？

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)设船与河岸成角向对岸行驶，如图所示，则当船行至对岸时，有s2＝，则渡河的时间t＝ 　　当sin＝1时，t最小，即船应沿垂直于河岸的方向渡河，如图所示，tmin＝＝25 s 　　此时船的速度v＝＝5 m/s 　　船经过的位移的大小s＝vt＝5×25 m＝125 m． 　　(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船的开行速度v2与岸成角，如图所示． 　　则cos＝，即＝arccos 　　此时船的速度v＝m/s 　　渡河所需时间t＝s 　　船的位移自然就是河宽s＝d＝100 m． 　　思路解析：当船与岸成角向对岸行驶时，如图所示，设想河水不流动，船将沿与岸成角的方向以速度v2做匀速直线运动；设想船不开行，船将顺水漂流，以速度v1沿水流方向做匀速直线运动．可见，船渡河同时参与了“与河岸成角的匀速直线运动”和“顺水漂流”两个分运动，其合运动为沿v1与v2的矢量和v的方向的匀速直线运动．由于分运动与合运动的等时性，船渡河的时间等于船与河岸成角方向上的匀速直线运动的时间．

提示：

运动的合成和分解实际上是矢量的合成和分解，处理时要按题意作好矢量图，用解三角形的方法找出所求量．通过本题的解答应该明确：(1)过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．(2)船沿垂直河岸方向横渡，即v合垂直河岸，过河位移最小．(3)要求到达对岸上、下游确定的某处，应使船的合速度始终指向该处． 　　在渡河问题中，有两点值得注意，一是要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划行产生的分速度，后者是合速度，这两种速度极易混淆；二是当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当船速v2＞水速v1时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽．如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸，此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法．