Question

3．为了进行有关测量和探究，向某行星发射一颗质量为m的卫星，绕该行星做匀速圆周运动，测得行星半径为R，卫星距离行星表面为R，周期T，已知引力常量为G，求：
（1）该行星的质量；
（2）该行星表面处的重力加速度；
（3）该行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力的周期表达式可以得到行星的质量．
（2）行星表面万有引力等于重力，可得该行星表面处的重力加速度．
（3）由v=$\sqrt{gR}$可得该行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）由万有引力提供向心力的周期表达式可得：
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m•2R•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：$M=\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）行星表面万有引力等于重力，可得：
$G\frac{Mm}{R}=mg$，
解得：g=$\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}$．
（3）由v=$\sqrt{gR}$可得该行星的第一宇宙速度：
$v=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}•R}=\frac{4πR}{T}\sqrt{R}$．
答：（1）该行星的质量$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）该行星表面处的重力加速度$\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}$；
（3）该行星的第一宇宙速度$\frac{4πR}{T}\sqrt{R}$．

点评 该题的关键是利用好万有引力提供向心力的周期表达式，掌握好第一宇宙速度表达式，三个宇宙速度中，只有第一宇宙速度会要求计算．