Question

1．如图所示，一辆在水平地面上向右做直线运动的平板车，长度L=6m，质量M=10kg，其上表面水平光滑且距地面高为h=1.25m，A、B是其左右的两端点，在A端固定一个与车绝缘的、质量与大小忽略不计的带电体Q，其电量Q=-5×10^-6C．在地面上方的空间存在着沿小车运动方向的、区域足够大的匀强电场（忽略Q的影响），场强大小E=1×10⁷N/C．在t=0时刻，小车速度为v₀=7.2m/s，此时将一个质量m=1kg的小球轻放在平板车上距离B端2m处的P点（小球可视为质点，释放时对地的速度为零）．经过一段时间，小球脱离平板车并落到地面．已知平板车受到地面的阻力与它对地面的压力成正比，且比例系数μ=0.2，其它阻力不计，重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）从t=0时起，平板车能继续向右运动的最大距离．
（2）小球从t=0时起到离开平板车时所经历的时间．
（3）从t=0时起到小球离开平板车落地时止，带电体Q的电势能的变化量．

Answer 1

分析 （1）从t=0时起，平板车受到向左的电场力，向右做匀减速运动，由牛顿第二定律求得加速度的大小，由运动学速度位移关系公式求出向右运动的最大距离．
（2）根据牛顿第二定律求出小车向右运动的加速度大小，根据运动学公式求出小车向右运动的位移和时间，判断小球是否会从小车的左端掉下，若未掉下，根据牛顿第二定律求出小车向左运动的加速度大小，小球从右端掉下，根据小球小车向左运动的位移求出向左运动的时间，两个时间之和即为小球从轻放到平板车开始至离开平板车所用的时间．
（3）求出小车在小球做自由落体运动时间内的位移，结合小车向右运动的位移和向左运动的位移，求出小车的位移．再求出电场力做功，即可求得带电体Q的电势能的变化量．

解答 解：（1）以平板车为研究对象，根据受力分析和牛顿运动定律有：-μ（m+m）g-EQ=Ma
电场力：F=EQ=1×10⁷N/C×5×10^-6C=50N
代入数据解得：a₁=-7.2m/s²     
x₁=$\frac{0-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{0-7．{2}^{2}}{2×（-7.2）}=3.6$m
（2）因x₁＜4m，故小球不会从车的左端掉下，小车向右运动的时间t₁=$\frac{0-{v}_{0}}{a}=\frac{0-7.2}{-7.2}=1$s
小车向左运动的加速度 a₂=$\frac{F-μ（M+m）g}{M}$
代入数据得：a₂=2.8m/s²
小球掉下小车时，小车向左运动的距离 x₂=x₁+$\frac{L}{3}$=5.6m
小车向左运动的时间t₂=$\sqrt{\frac{2{x}_{2}}{{a}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{2×5.6}{2.8}}$=2s
所以小球从轻放到平板车开始至离开平板车所用的时间 t=t₁+t₂=1+2=3s  
（3）小球刚离开平板车时，小车向左的速度的大小为：v₂=a₂t₂=2.8×2=5.6m/s
小球离开平板车后，车的加速度大小a₃=$\frac{F-μMg}{M}$=$\frac{50-0.2×10×10}{10}$=3m/s²
小球离开车子做自由落体的运动 h=$\frac{1}{2}$gt₃²   
代入数据得：t₃=0.5s
车子在t₃时间内向左运动的距离 x₃=v₂t₃+$\frac{1}{2}$a₃t₃²
代入数据得：t₃=3.175m
车子在从t=0时起到小球离开平板车落地时止，向左运动的位移为s
  s=x₃+x₂-x₁=3.175+5.6-3.6=5.175m
故在从t=0时起到小球离开平板车落地时止，带电体Q的电势能的变化量为△E，
△E=-Fs=-50×5.175=-258.75J 
答：（1）从t=0时起，平板车能继续向右运动的最大距离为3.6m．
（2）小球从t=0时起到离开平板车时所经历的时间为3s．
（3）从t=0时起到小球离开平板车落地时止，带电体Q的电势能的变化量为-258.75J．

点评 本题是一个多过程问题，关键是理清小车在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．