题目内容
如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于纸面向里．x轴下方有一匀强电场，电场强度为E、方向与y轴的夹角θ=45°斜向上方．现有一质量为m、带电量为q的正离子，以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点（图中未画出）进入电场区域，离子经C点时的速度方向与电场方向相反．设磁场和电场区域均足够大，不计离子的重力，求：
（1）离子从A点出发到第三次穿过x轴上的D（图中未画出）与坐标原点O的距离；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．并大致画出离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹．
（1）离子从A点出发到第三次穿过x轴上的D（图中未画出）与坐标原点O的距离；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．并大致画出离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹．
分析：（1）根据粒子洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，结合牛顿第二定律与几何关系，即可求解；
（2）根据运动轨迹的几何关系，来确定圆心角，并结合周期公式与牛顿第二定律、运动学公式，即可求解；
（3）根据粒子做类平抛运动处理规律，由运动的分解，并结合运动学公式，即可求解．
（2）根据运动轨迹的几何关系，来确定圆心角，并结合周期公式与牛顿第二定律、运动学公式，即可求解；
（3）根据粒子做类平抛运动处理规律，由运动的分解，并结合运动学公式，即可求解．
解答：
解：（1）离子射入磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示．由牛顿第二定律得qvB=m
①
设D点到坐标原点O的距离为xD
由几何关系得xD=R+Rcos450+
R②
由由①②式得xD=(
)
（2）由轨迹图可知，在磁场中第一次偏转对应的圆心角为β1=
，运动时间为t1；
第二次偏转对应的圆心角为β2=
，运动时间为t2；
则带点粒子在磁场运动的时间为t=
T③
T=
④
带点粒子在电场中做类竖直上抛运动，
设粒子在电场中运动的时间为t2，有-v0-v0=at2⑤
而a=
⑥
离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间t=t1+t2+t3⑦
解③⑦式得t=
+
（3）离子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程在电场中做类平抛运动，
设沿着v0的方向为x′轴，离子沿x′轴做匀速直线运动，
设沿着电场的方向为y′轴，离子沿y′轴做初速为零的匀变速直线运动x1=v0t⑧
y1=
t⑨
由图中几何关系知
=tan450⑩
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α.v=
（11）
tanα=
（12）
由⑤～11式得v=
v0
α=arctan
答：（1）离子从A点出发到第三次穿过x轴上的D（图中未画出）与坐标原点O的距离xD=(
)
；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间t=
+
；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小v=
v0及速度方向与电场方向的夹角α=arctan
．并大致画出离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹如上所示．
解：（1）离子射入磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示．由牛顿第二定律得qvB=m| v02 |
| R |
设D点到坐标原点O的距离为xD
由几何关系得xD=R+Rcos450+
| 2 |
由由①②式得xD=(
2+3
| ||
| 2 |
| mv0 |
| qB |
（2）由轨迹图可知，在磁场中第一次偏转对应的圆心角为β1=
| 5π |
| 4 |
第二次偏转对应的圆心角为β2=
| π |
| 2 |
则带点粒子在磁场运动的时间为t=
| β |
| 2π |
T=
| 2πr |
| v0 |
带点粒子在电场中做类竖直上抛运动，
设粒子在电场中运动的时间为t2，有-v0-v0=at2⑤
而a=
| qE |
| m |
离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间t=t1+t2+t3⑦
解③⑦式得t=
| 7 |
| 4 |
| πm |
| qB |
| 2mv0 |
| qE |
（3）离子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程在电场中做类平抛运动，
设沿着v0的方向为x′轴，离子沿x′轴做匀速直线运动，
设沿着电场的方向为y′轴，离子沿y′轴做初速为零的匀变速直线运动x1=v0t⑧
y1=
| vy/ |
| 2 |
由图中几何关系知
| y1 |
| x1 |
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α.v=
|
tanα=
| v0 |
| vy/ |
由⑤～11式得v=
| 5 |
α=arctan
| 1 |
| 2 |
答：（1）离子从A点出发到第三次穿过x轴上的D（图中未画出）与坐标原点O的距离xD=(
2+3
| ||
| 2 |
| mv0 |
| qB |
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间t=
| 7 |
| 4 |
| πm |
| qB |
| 2mv0 |
| qE |
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小v=
| 5 |
| 1 |
| 2 |
点评：考查粒子做匀速圆周运动与类平抛运动，掌握牛顿第二定律与运动学公式，理解圆周运动的半径公式与周期公式，掌握几何关系在题中的应用．
练习册系列答案
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