Question

（附加题）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆固定轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点。

   （1）求推力对小球所做的功。

   （2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少？最小功为多少。

   （3）x取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少。

Answer 1

（1）

（2）x = 2R时W_g最小，  最小的功

（3）x = 4R时，最小的力F = mg

解析:

（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v₀，质点从C点运动到A点所用的时间为t

    大水平方向x = v₀t          ①    竖直方向上         ②

    解①②有                           ③

    对质点从A到C由动能定理有

        ④    解      ⑤

   （2）要使F力做功最少，确定x的取值，由知，只要质点在C点速度最小，则功W_g就最小，就有物理极值。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为V，    由牛顿第二定律有：，则     ⑥

    由③⑥有，解得x = 2R时W_g最小，  最小的功                       （3）由⑤式

    而           当时，即x = 4R时，最小的力F = mg