Question

一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图所示．设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计．为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件？

Answer 1

分析：两个滑块发生弹性碰撞，动量和机械能都守恒，根据动量守恒和机械能守恒列出方程，联立可求出碰撞后两个滑块速度的表达式，分析为使第二次碰撞能发生k的条件．用同样的方法得到第二碰撞后两滑块的速度，再分析为使第三次碰撞不会发生k满足的条件，再综合起来，即得到k的条件．

解答：解：设A与B碰撞前A的速度为v₀，碰后A与B的速度分别为v₁与V₁，由动量守恒及机械能守恒定律有
    mv₀=mv₁+kmV₁     （1）

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

  （2）
由此解得
  v₁=

1-k

k+1

v0   （3）
  V₁=

2

k+1

v0    （4）
为使A能回到坡上，要求v₁＜0，这导致k＞1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有-v₁＞V₁，即
k-1＞2，这导致k＞3，于是，为使第二次碰撞能发生，要求k＞3．（5）
对于第二次碰撞，令v₂和V₂分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有：
   m（-v₁）+kmV₁=mv₂+kmV₂
  

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+

1

2

km

V

2 2

由此解得
  v₂=

4k-(k-1)2

(k+1)2

v0               （6）
  V₂=

4(k-1)

(k+1)2

v0                    （7）
若v₂＞0，则一定不会发生第三次碰撞，若v₂＜0，且-v₂＞V₂，则会发生第三次碰撞．故为使第三次碰撞不会发生，要求A第三次从坡上滑下后速度的大小（-v2）不大于B速度的大小V₂，即
-v₂≤V₂  （8）
由（6）、（7）、（8）式得
  k²-10k+5≤0                           （9）
由（9）式的解为
  5-2

5

≤k≤5+2

5

                       （10）
（10）与（5）的交集即为所求：
  3＜k≤5+2

5

     
答：为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足的条件是 3＜k≤5+2

5

．

点评：对于弹性碰撞，动量守恒和机械能守恒是基本规律，本题的难点是分析为使两滑块能且只能发生两次碰撞的条件，由数学知识求出k满足的条件．