Question

（2013?重庆二模）如图1所示，一质量为m的滑块（可视为质点）沿某斜面顶端A由静止滑下，已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ和滑块到斜面顶端的距离x的关系如图2所示．斜面倾角为37°，长为L．有一半径R=

L

15

的光滑竖直半圆轨道刚好与斜面底端B相接，且直径BC与水平面垂直，假设滑块经过B点时没有能量损失．当滑块运动到斜面底端B又与质量为m的静止小球（可视为质点）发生弹性碰撞（已知：sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

）．求：
（1）滑块滑至斜面底端B时的速度大小；
（2）在B点小球与滑块碰撞后小球的速度大小；
（3）小球滑至光滑竖直半圆轨道的最高点C时对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）根据图象2，通过平均摩擦力大小，求出该过程中摩擦力做功的大小，对滑块由顶端滑至底端，运用动能定理求出到达B点的速度．
（2）碰撞的过程中动量守恒、动能守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后小球的速度．
（3）根据动能定理求出小球到达C点时的速度，结合牛顿第二定律求出弹力的大小，从而根据牛顿第三定律求出小球对轨道的压力．

解答：解：（1）滑块由顶端滑至底端，由动能定理得：
mgLsin37°+Wf=

1

2

mvB2
由图2的物理意义得：Wf=-

.

f

L=-

0+mgcos37°

2

L=-

2

5

mgL
解得：vB=

2 5 gL

．
（2）滑块与小球发生弹性碰撞，设碰后的速度分别为v₁、v₂，满足动能守恒和动量守恒，选向右的方向为正，则有：

1

2

mvB2=

1

2

mv12+

1

2

mv22
mv_B=mv₁+mv₂
解得v₁=0，v2=vB=

2 5 gL

．
（3）小球从B到C，由动能定理得，
-mg?2R=

1

2

mvc2-

1

2

mv22
解得vc=

2 15 gL

．
对小球，根据牛顿第二定律有：
mg+N=m

vc2

R

解得：N=mg．
由牛顿第三定律得，小球在C时对轨道的压力为N′=N=mg．
答：（1）滑块滑至斜面底端B时的速度大小为vB=

2 5 gL

．
（2）在B点小球与滑块碰撞后小球的速度大小为

2 5 gL

．
（3）小球滑至光滑竖直半圆轨道的最高点C时对轨道的压力为mg．

点评：本题考查了牛顿第二定律、动能定理、动量守恒的综合，是高考常见的题型，综合性较强，需加强这方面的训练．