Question

如图（a）所示，有两级光滑的绝缘平台，高一级平台距离绝缘物块的中心O的高度为h，低一级平台高度是高一级平台高度的一半．绝缘物块放在水平地面上，物块与地面间的动摩擦力为f，一轻质弹簧一端连接在绝缘物块的中心，另一端固定在墙面上．边界GH左边存在着正交的匀强电场和交变磁场，电场强度为E，磁感应强度变化情况如图（b）所示，磁感强度大小均为B₀．有一质量为m、带负电的小球从高一级平台左边缘以一定初速度滑过平台后，垂直于边界GH在t=T/4时刻进入复合场，刚进入复合场时磁场方向向外且为正值．小球以不变的速率运动至O点处恰好与绝缘物块发生正碰，碰撞过程没有能量损失（碰撞时间不计）．碰撞后小球恰能垂直于边界GH返回低一级平台上，而绝缘物块从C点向右运动到最远点D，C、D间的距离为S，（重力加速度为g）
求：

（1）交变磁场变化的周期T；
（2）小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
（3）绝缘物块从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能E_p．

Answer 1

分析：（1）带电小球进入复合场做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，可得到场强．小球在t=

1

4

T时刻进入复合场，与物块碰后做匀速圆周运动，恰能垂直于边界GH返回低一级平台上，返回低一级台阶的过程，磁场方向与小球进入复合场时磁场方向相反，说明小球从高一级平台进入复合场到与物块碰撞经过的时间等于

T

4

，由小球做匀速圆周运动的周期公式T′=

2πm

qB

即可求出交变磁场变化的周期T；
（2）小球在复合场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
（3）根据牛顿第二定律求出小球与物块碰后的速率，根据能量守恒求出物块获得的动能，并由能量守恒求解绝缘物块从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能E_p．

解答：解：（1）带电小球垂直于边界GH进入复合场，做匀速圆周运动，则有：
qE=mg…①
带电小球做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，且经过半个圆周运动到达O点，碰后再经过半个圆周回到二级平台．设小球做匀速圆周运动的周期为T′，则：
T′=

2πm

qB

…②
因为

T

4

=

T′

2

，得T=2T′，则由①②，得交变磁场变化的周期：T=

4πE

gB0

（2）由牛顿第二定律得：qvB₀=m

v2

r

…③
由几何关系得：r=

h

2

…④
由①③④，解得：v=

gB0h

2E

…⑤
（3）设小球碰后的速度大小为v′，碰后做匀速圆周运动的半径为r′，由牛顿第二定律得：
qv′B₀=m

v′2

r′

…⑥
由几何关系有：r′=

h

4

…⑦
联立解得：v′=

gB0h

4E

…⑧
设碰后物块获得的动能为E_k，因碰撞过程没有能量损失，则有：
 

1

2

mv2=

1

2

mv′2+E_k…⑨
物块从C到D过程，由能量守恒定律得：
E_k=fs+E_p…⑩
由⑤⑧⑨⑩解得：E_p=

3mq2 B 2 0 h2

32E2

-fs．
答：
（1）交变磁场变化的周期T为

4πE

gB0

；
（2）小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v是

gB0h

2E

；
（3）绝缘物块从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能E_p是

3mq2 B 2 0 h2

32E2

-fs．

点评：本题要通过分析，得到小球圆周运动的周期与交变磁场变化的周期T的关系，根据牛顿第二定律求出小球与物块碰撞前后的速率是常规方法．此题综合性较强．