Question

如图所示，AEBCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AEB是半径为R=1.5m的1/4圆周轨道，CDO是直径为1.5m的半圆轨道．AEB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．质量m=0.1kg的小球由A点的正上方高H的P点处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失），小球恰能通过CDO轨道最高点．并落在AEB轨道上的E点，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）高度H的大小；
（2）当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力大小；
（3）θ角的大小．（用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）小球恰能通过CDO轨道最高点，根据重力等于向心力列式求解O点速度，然后就机械能守恒定律列方程求解；
（2）根据机械能守恒定律求出C点速度，然后根据重力和支持力的合力提供向心力列式求解出支持力，根据牛顿第三定律得到压力；
（3）根据平抛运动的分位移公式列式求解．

解答：解：（1）因为小球恰能通过O点，故有：mg=m

v 2 O

r

解得：v₀=

gr

小球从P→O机械能守恒，故：mgH=

1

2

m

v

2 O

r=

R

2

，可得H=

R

4

=0.375m
（2）P→C机械能守恒  mg（H+R）=

1

2

m

v

2 C

在C点用向心力公式得：NC-mg=m

v 2 C

r

联立得：N=6mg=6N
（3）小球离开O点做平抛运动，初速度为vO=

gr

由平抛运动规律得：
Rsinθ=v_Ot
Rcosθ=

1

2

gt2
联立得：cos²θ+cosθ-1=0
解得cosθ=

-1± 5

2

，舍去负值得cosθ=

5 -1

2

；
所以θ=arccos

5 -1

2

；
答：（1）高度H的大小为0.375m；
（2）当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力大小为6N；
（3）θ角的大小为arccos

5 -1

2

．

点评：本题关键明确小球的运动规律，然后结合机械能守恒定律、向心力公式、牛顿第二定律、平抛运动的规律列式求解．