题目内容

质量分别为m₁和m₂的两个小物块用轻绳连接，绳跨过位于倾角α=30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示．第一次，m₁悬空，m₂放在斜面上，用t表示m₂自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间．第二次，将m₁和m₂位置互换，使m₂悬空，m₁放在斜面上，发现m₁自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为 $数学公式$ ．求m₁与m₂之比．

解：第一次，小物块受力情况如图所示，设T₁为绳中张力，a₁为两物块加速度的大小，l为斜面长，则有
m₁g-T₁=m₁a₁                      ①
T₁-m₂gsinα=m₂a₁                ②
$\text{[math]}$                             ③
第二次，m₁与m₂交换位置．设绳中张力为T₂，两物块加速度的大小为a₂，则有
m₂g-T₂=m₂a₂          ④
T₂-m₁gsinα=m₁a₂     ⑤
$\text{[math]}$                ⑥
由 ①、②式注意到α=30°得 $\text{[math]}$      ⑦
由 ④、⑤式注意到α=30°得 $\text{[math]}$      ⑧
由 ③、⑥式得 $\text{[math]}$                          ⑨
由 ⑦、⑧、⑨式可解得 $\text{[math]}$             ⑩
答：m₁m₂之比为 $\text{[math]}$
分析：（1）两物体通过轻绳相连可知，两物体运动的加速度大小相等；
（2）互换m₁和m₂的位置，物体自斜面底端滑上斜面顶端时间之比为3：1，据物体向上做初速度为零的匀加速直线运动，由位移相等可得物体上滑的加速度之比；
（3）据物体的受力分析，根据牛顿第二定律列式可求两种情况下物体的加速度大小之比；由物体受力得到的加速度之比和运动分析的加速度之比相等，列式可求两两物体的质量之比．
点评：用隔离法求物体的加速度，通过正确的受力分析，根据牛顿第二定律列式求物体的加速度；通过对物体的运动分析，得出两种情况下物体的加速度大小之比，结合受力得到的加速度和运动计算的加速度之比相等，列式可求得物体的质量之比．