Question

12．同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置．图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板．M板上部有一半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为H．N板上固定有三个圆环．将质量为m的小球从P处静止释放，小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为L处．不考虑空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的圆环中心到底板的高度；
（2）小球运动到Q点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向；
（3）摩擦力对小球做的功．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的特点，将运动分解即可求出；
（2）根据平抛运动的特点，即可求出小球运动到Q点时速度的大小；在Q点小球受到的支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出小球受到的支持力的大小；最后有牛顿第三定律说明对轨道压力的大小和方向；
（3）小球从P到Q的过程中，重力与摩擦力做功，由功能关系即可求出摩擦力对小球做的功．

解答 解：（1）小球从Q抛出后运动的时间：$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$①
水平位移：L=v_Q•t  ②
小球运动到距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的位置时的时间：$t′=\frac{\frac{1}{2}L}{{v}_{Q}}=\frac{1}{2}t$  ③
此过程中小球下降的高度：h=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$   ④
联立以上公式可得：h=$\frac{1}{4}H$
圆环中心到底板的高度为：H-$\frac{1}{4}H$=$\frac{3}{4}H$；
（2）由①②得小球到达Q点的速度：${v}_{Q}=\frac{L}{t}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}$  ⑤
在Q点小球受到的支持力与重力的合力提供向心力，得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{Q}^{2}}{R}$  ⑥
联立⑤⑥得：${F}_{N}=mg（1+\frac{{L}^{2}}{2HR}）$
由牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力的大小：mg（1+$\frac{L^2}{2HR}$） 方向：竖直向下
（3）小球从P到Q的过程中，重力与摩擦力做功，由功能关系得：mgR+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$  ⑦
联立⑥⑦得：W_f=mg（$\frac{{L}^{2}}{4H}-R$）
答：（1）到底板的高度：$\frac{3}{4}H$；
（2）小球的速度的大小：$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$小球对轨道的压力的大小：mg（1+$\frac{L^2}{2HR}$） 方向：竖直向下；
（3）摩擦力对小球做的功：mg（$\frac{{L}^{2}}{4H}-R$）．

点评 该题是平抛运动、功能关系以及圆周运动的综合题，该题中要熟练掌握机械能守恒定律，能量守恒定律，以及圆周运动的临界问题．