Question

16．如图甲所示，足够长的平行导轨间距L=0.5m，导轨平面与绝缘水平面间的夹角θ=37°，导轨上端ab处接有一个R=4Ω的电阻，匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度B₀=1T．将一根质量为m=0.05kg，电阻不能忽略的金属棒在导轨上端ab处由静止释放，当金属棒滑行至cd处时速度达到最大，已知在此过程中，通过金属棒截面的电量q=0.2C，金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与ab平行且与导轨接触良好．（重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ及金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的焦耳热；
（2）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系式，得到a与v的关系式，结合图象的信息求解动摩擦因数μ．根据电量求出棒下滑的距离，再由能量守恒定律求电阻R上产生的焦耳热．
（2）要使金属棒中不产生感应电流，则穿过线框的磁通量不变．同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动．从而可求出磁感应强度B应怎样随时间t变化的，然后求出磁感应强度与时间的关系式．

解答 解：（1）在达到稳定速度前，金属棒产生的感应电动势：E=B₀Lv
由欧姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
棒所受的安培力：F_A=B₀IL
由牛顿第二定律得：mgsinθ-F_A-μmgcosθ=ma
联立得 a=g（sinθ-μgcosθ）-$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$
由图知，v=0时，a=2m/s²，即有 g（sinθ-μgcosθ）=2m/s²，解得 μ=0.5
当a=0时，v=2m/s，即有 g（sinθ-μgcosθ）-$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$=0
代入数据解得 r=1Ω
设棒ab处滑到cd处下滑的距离为s，由 q=$\overline{I}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$
则得 s=$\frac{q（R+r）}{BL}$=$\frac{0.2×（4+1）}{1×0.5}$m=2m
根据能量守恒得，重力势能减小转化为动能、摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热．
由能量守恒定律得：mgs•sinθ=$\frac{1}{2}$mv²+μmgscosθ+Q
电阻R上产生的热量：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，代入数据解得：Q_R=0.08J；
（2）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．
此时金属棒将沿导轨做匀加速运动，故：mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=2m/s²
设t时刻磁感应强度为B，则：B₀Ls=BL（s+x）
位移：x=vt+$\frac{1}{2}$at²
解得：B=$\frac{{B}_{0}s}{s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T；
答：
（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ是0.5，金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的焦耳热是0.08J；
（2）磁感应强度B应怎样随时间t变化的关系式为B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T．

点评 本题的关键运用牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式，推导出a与v的关系式，同时要明确当金属棒速度达到稳定时，则一定是处于平衡状态，原因是安培力受到速度约束的．还巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离．最后线框的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流是解题的突破点．